Summe mit Binomialkoeffizienten und Sinus

22.05.2019, 17:00

Schnurri29

Summe mit Binomialkoeffizienten und Sinus

Meine Frage:
Liebes Matheboard!

Ich würde bitte Hilfe bei folgender Summe benötigen:

Vereinfachen Sie folgende Summe mit $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ zu einem Polynom in n.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix}\sin(kx) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Wenn ich den binomischen Lehrsatz anwenden würde, mit:

$\begin{eqnarray*} \left(x + y\right)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} x^k\cdot y^{n-k} \end{eqnarray*}$

Dann würde ich ja auf:

$\begin{eqnarray*} \left(sin (kx) + 1 \right)^n \end{eqnarray*}$ kommen.

Aber mir kommt das irgendwie zu einfach vor. Da wir noch keine komplexen Zahlen durchgemacht haben, glaube ich nicht, dass ich den Sinus in Exponentialschreibweise angeben muss...

Herzlichen Dank!

22.05.2019, 17:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von Schnurri29
Da wir noch keine komplexen Zahlen durchgemacht haben, glaube ich nicht, dass ich den Sinus in Exponentialschreibweise angeben muss

Wieso "muss"? Eher "darf", denn das würde sich hier anbieten! Die angegebene Summe ist der Imaginärteil von

$\begin{eqnarray*} S = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} e^{ikx} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left(e^{ix}\right)^k = \left(1+e^{ix}\right)^n = e^{\frac{inx}{2}}\left(e^{\frac{ix}{2}}+e^{\frac{-ix}{2}}\right)^n = e^{\frac{inx}{2}} 2^n \cos^n\left(\frac{x}{2}\right) \end{eqnarray*}$

das Ergebnis ist somit $\begin{eqnarray*} \operatorname{Im}(S) = 2^n \sin\left(\frac{nx}{2}\right)\cos^n\left(\frac{x}{2}\right) \end{eqnarray*}$

EDIT:

Zitat:

Original von Schnurri29
Vereinfachen Sie folgende Summe mit $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ zu einem Polynom in n.

Das steht tatsächlich so da? verwirrt

23.05.2019, 09:21

Schnurri29

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Vielen Dank für die schnelle Antwort! smile

Die Angabe, so wie ich sie formuliert habe, stimmt so.

Aber der Weg über die Exponentialform scheint einleuchtender zu sein. Vielleicht wird hier etwas vorausgegriffen verwirrt

Wie gesagt, danke nochmals!

23.05.2019, 11:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von Schnurri29
Aber der Weg über die Exponentialform scheint einleuchtender zu sein.

Einleuchtender als was? verwirrt

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