Positiv orientiert genau dann, wenn orientierungserhaltend

22.05.2019, 19:48	Inad	Auf diesen Beitrag antworten »
Positiv orientiert genau dann, wenn orientierungserhaltend Meine Frage: Seien $\begin{eqnarray} (M_1^n , [\Omega_1]) , (M_2^n , [\Omega_2]) \end{eqnarray}$ zwei differenzierbare und orientierte Mannigfaltigkeiten, $\begin{eqnarray} F: M_1 \rightarrow M_2 \end{eqnarray}$ ein Diffeomorphismus und $\begin{eqnarray} (U , \phi) \end{eqnarray}$ ein Atlas zu $\begin{eqnarray} M_1 \end{eqnarray}$ mit positiver Orientierung bezüglich $\begin{eqnarray} [\Omega_1] \end{eqnarray}$ . Zeige, dass der Atlas $\begin{eqnarray} (F(U) , \phi \circ F^{-1}) \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} M_2 \end{eqnarray}$ positiv orientiert ist bezüglich $\begin{eqnarray} [\Omega_2] \end{eqnarray}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ orientierungserhaltend ist. Meine Ideen: Hier meine bisherigen Versuche, die aber meiner Meinung nach alle nicht zum gewünschten Ergebnis führen: Wir wissen $\begin{eqnarray} (U , \phi = (u_1,...,u_n)): \Omega_1(\partial u_1,...,\partial u_n) > 0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} F^(\Omega_2) \in [\Omega_1]: F^(\Omega_2)_p(u_1,...,u_n) = \Omega_{2F(p)}(dF_p(u_1),...,dF_p(u_n)) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \int_{(M_1 , [\Omega_1])} F^w = \int_{(M_2 , [\Omega_2])} \end{eqnarray}$ Das habe ich versucht: $\begin{eqnarray} \int_{(M_1 , [\Omega_1])} w = \int_{\phi(U)} f \circ \phi^{-1} dx_1...dx_n = \int_{\varphi \circ F^{-1}(U)} f \circ \phi^{-1} \circ F dx_1...dx_n = \int_{(M_2 , [\Omega_2])} wF^{-1} \end{eqnarray}$ daraus folgt $\begin{eqnarray} (F(U) , \phi \circ F^{-1} = (v_1,...,v_n)): \Omega_2(\partial v_1,...,\partial v_n) > 0 \end{eqnarray*}$ Wäre super, wenn jemand etwas zielführendes für mich hätte, danke dafür. Schöne Grüße

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