Orthogonale Matrizen im R^3

23.05.2019, 15:14	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Matrizen im R^3 Hey Leute Angenommen wir haben eine Matrix $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ im euklidischen 3-dimensionalen reellen Raum. Sind dann folgende Aussagen richtig? 1) $\begin{eqnarray} \text{det}(Q)=1\quad\Longleftrightarrow\quad Q \text{ ist eine Drehmatrix} \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} \text{det}(Q)=-1\quad\Longleftrightarrow\quad Q \text{ ist eine Spiegelmatrix} \end{eqnarray}$ 3) Drehachse, bzw. Spiegelebene, sind in den jeweiligen Fällen die Eigenräume zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda=1 \end{eqnarray}$ .
23.05.2019, 17:46	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonale Matrizen im R^3 det(Q)=1 reicht nicht mal für Orthogonalität, wie man an Q=diag(1,1/2,2) sieht.
23.05.2019, 17:52	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonale Matrizen im R^3 Sorry das habe ich vergessen noch mal explizit hinzuschreiben.Voraussetzung: Es handelt sich um eine Orthogonale Matrix, also $\begin{eqnarray} QQ^\top=E \end{eqnarray}$ .
23.05.2019, 19:04	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonale Matrizen im R^3 Für det(Q)=1 würde ich zustimmen. Für det(Q)=-1 sehe ich noch Drehspiegelungen und als Spezialfall Q=-id
23.05.2019, 19:11	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonale Matrizen im R^3 Interessant! Was hälst du davon, wenn die Aussage wie folgt geändert wird: "Für $\begin{eqnarray} \text{det}(Q)=-1 \end{eqnarray}$ handelt es sich bei der Matrix $\begin{eqnarray} Q\in\mathbb{R}^{3\times3} \end{eqnarray}$ um eine Matrix, die bei Multiplikation eine Drehspiegelung ausführt. Der Eigenvektor zum Eigenwert -1 ist der Normalenvektor der Spiegelebene."
23.05.2019, 19:50	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonale Matrizen im R^3 Das geht. Im Grund gibt es zwei Möglichkeiten. Das charakteristische Polynom von Q hat drei reelle Nullstellen -1,1,1. Dann ist Q eine Spiegelung. Das charakteristische Polynom von Q hat eine reelle und zwei konjugierte, echt komplexe Nullstellen. Dann ist Q eine Spiegelung und die Vektoren in der Spiegelebene werden noch (echt) gedreht. Die erste Möglichkeit entspricht einer (unechten) Drehung um den Winkel Null.
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23.05.2019, 21:06	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonale Matrizen im R^3 Vielen Dank bis hierher, URL! Wenn du noch Zeit für einige letzte Fragen hast, wär ich sehr glücklich 1. Können allgemein im (euklidischen) $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ orthogonale Matrizen ebenfalls als "Drehungen" und "Spiegelungen" aufgefasst werden? EDIT: Wie ist die Interpretation im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{2k} \end{eqnarray}$ ? Also was passiert, wenn im 2 oder 4 dimensionalen Raum mal alle Eigenwerte komplex sind? 2. Da jeder orthogonale Endomorphismus ein Produkt von endlich vielen Spiegelungen ist, kann ich einfach sagen: Jede orthogonale Matrix ist das Produkt endlich vieler Drehspiegelmatrizen oder sogar nur Spiegelmatrizen? (Damit wäre ja jede Drehung ein Produkt von Spiegelungen und jede Spiegelung wäre eine Drehung!!!) 3. Stimmt die Interpretation des folgenden Beispiels, das ich mir ausgedacht habe? Sei $\begin{eqnarray} Q=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & -1 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{det}(Q)=-1 \end{eqnarray}$ mit Eigenwerten -1 und $\begin{eqnarray} \pm\mathrm{i} \end{eqnarray}$ . Damit ist $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ eine Drehspiegelmatrix. EV zu -1 ist $\begin{eqnarray} e_1 \end{eqnarray}$ , die Spiegelebene $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ und die zugehörige Spiegelmatrix damit $\begin{eqnarray} S=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Als Drehmatrix habe ich ausgerechnet $\begin{eqnarray} D=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit Drehachse ebenfalls $\begin{eqnarray} e_1 \end{eqnarray}$ (Zufall?) und Drehwinkel $\begin{eqnarray} -\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ . Ich denke alles stimmt soweit, weil auch gilt: $\begin{eqnarray} Q=S\cdot D \end{eqnarray}$ . Interpretation: Das Multiplizieren mit der Matrix $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ (von links) führt erst zu einer Drehung um -90 Grad um die x-Achse und dann zu einer Spiegelung an der y-z-Ebene. Stimmt das?

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