Lineare Gleichungen in Zn

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Suprax Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Gleichungen in Zn
Guten Tag allesamt,

ich hänge an einer ganzen Nummer fest, da ich noch probleme mit additive und multiplikative Inverse habe.

Folgende Gleichungen sind zu lösen:

a) 5x + 2 =3 in Z6

b) 5y = 2 in Z11


Das sind nur zwei von vielen Aufgaben, aber wenn mir gezeigt wird, wie ich die rechne, dann werden die anderen Aufgaben kein problem sein.


Ich bedanke mich herzlichst im voraus!
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RE: Lineare Gleichungen in Zn
Bei so kleinen Gruppen findet man das Inverse leicht durch probieren. Bei b) ist z.B , also , also ist die Inverse von 5 durch gegeben.
 
 
Suprax Auf diesen Beitrag antworten »

Die Rechnung ist nicht ganz nachvollziehbar.

Warum haben wir 52? Bzw. könntest du deine Rechnung etwas genauer erklären?


#edit: Ich habe für meine rechnung y = 10 = 10 mod 11 raus...?
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Gemeint ist nicht 52 sondern das Produkt aus 5 und 2.
y=10 ist falsch, mach einfach die Probe.
Suprax Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort!

Wenn ich die Überprüfung mache, dann setze ich y=20

Im Fall b) 5*20= 2 in Z11

Ich komme mir zwar ziemlich dumm vor, doch wie würde die Überprüfung aussehen?

Müsste ich 100 = 2 in Z11 |-2
98 : 11 = 8 R10

Wäre das so richtig?
URL Auf diesen Beitrag antworten »

5y=2 in Z11 bedeutet, dass 5y-2 durch 11 teilbar ist.
Für y=10 ist das z.B. nicht der Fall, weil bei Division durch 11 der rest 4 bleibt.
Wie würde man die Gleichung 5y=2 in den reellen Zahlen lösen? Man dividiert durh 5.
Hier geht es genauso, man muss sich nur vorher überlegen, ob die 5 in Z11 überhaupt invertierbar ist. Das ist der Fall, wie ich oben gezeigt habe, die Inverse ist 9. Also ist y=9*2=18=7 in Z11.
Probe: 5*7-2=33 ist durch 11 teilbar.
Suprax Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!!

Jetzt habe ich es verstanden - endlich. Ich stand die ganze Zeit voll auf dem Schlauch 😅
Suprax Auf diesen Beitrag antworten »

Für die a) wäre es dann folgendermaßen:

5x +2 = 3 in Z6 | -2

5x = 1 in Z6

5x = 1 mod 6

5 *5 = 1*5 mod 6

x = 5 = 5 mod 6


richtig?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ergebnis stimmt, man kann es aber sehr viel einheitlicher und schöner aufschreiben, wenn man konsequent die Kongruenzschreibweise bennutzt.

, weil
Suprax Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

Für die Aufgabe d) habe ich das ganze so ausgrarbeitet.

Wenn ich noch die Rechnung aufstelle müsste es dann doch folgendermaßen ausschauen:

3x = 2 mod 11

15•3x = 45 = 1 mod 11

Wäre das so richtig?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast rechts 15*3=45 gerechnet, richtig wäre aber 15*2:

Suprax Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs so gut wie verstanden, aber eine Sache verwirrt mich:

Wenn ich 3x = 2 mod 11 habe und

15 *3 = 45 = 1 mod 11 rechne, dann habe ich doch die Gleichung gelöst, oder nicht?

Wenn ich 15 * 2 = 30 = 8 mod 11 rechne, dann ist doch die Voraussetzung für die Probe.

So ganz verstehe ich den Unterschied zwischen den beiden Rechenverfahren nicht - Was ist für was?

Alles andere habe ich super verstanden und bedanke mich für eure Mühe!!!


#edit:
Wir können gar nicht mit 15 multiplizieren, da wir nicht mehr im Z11 Bereich sind.

Wir müssen in dem Fall mit 4 rechnen, sprich 3*4 = 12 = 12:11 = 1 R1

In dem Fall: 4*3x = 12 = 1 mod 11

4 * 2 = 8 = 8 mod 11
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal: Meine Anmerkung bezog sich auf

Zitat:
Original von Suprax
15•3x = 45 = 1 mod 11

und das ist ganz einfach Unsinn! Aus folgt durch Multiplikation mit 15







Zitat:
Original von Suprax
Wir können gar nicht mit 15 multiplizieren, da wir nicht mehr im Z11 Bereich sind.

Doch, können wir: Es ist wurstegal, mit welchem Repräsentanten derselben Restklasse modulo 11 du rechnest, ob mit 15, mit 4 oder vielleicht auch mit -7. Es gibt nur den praktischen Grund mit möglichst (betrags)kleinen Repräsentanten zu rechnen, weil da die Rechnungen (bzw. die Zahlen) "kleiner" sind.
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