Fairer Würfel, Stopp nach der ersten Sechs. W'keit, dass n gerade?

23.05.2019, 15:30	callmesagitt	Auf diesen Beitrag antworten »
Fairer Würfel, Stopp nach der ersten Sechs. W'keit, dass n gerade? Hallo, ich habe folgendes Problem: Man würfelt mit einem fairen Würfel und stoppt nach der ersten 6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Würfe, die man dafür benötigt hat, gerade ist? Klingt zu allererst mal nach eine geometrischen Verteilung, denn für die W´keit das eine Sechs auftritt gilt: $\begin{eqnarray} P(T \in \{1, 2, 3, ...\}= \sum\limits_{k=1}^{\infty } 1/6 5/6^{k-1} = 1/6 (1+5/6 + (5/6)^2 + ... = 1/6* 1/(1-(5/6)) \end{eqnarray}$ so weit so gut. Gehen wir nun einen Schritt weiter: $\begin{eqnarray} P(T \in \{2, 4, ...\}= P(T = 2k) = \sum\limits_{k=1}^{\infty } 1/6 * 5/6^{2k-1} \\ = 1/6 \sum\limits_{k=1}^{\infty }5/6^{2k-1} = 1/6 ((5/6)^1 + (5/6)^3 + ... \end{eqnarray*}$ Leider gelingt es mir hier, keine weitere Umformung vorzunehmen. Bei dem Beispiel, dass nur eine sechs Auftritt, bekomme ich das Ganze mit der geometrischen Reihe hin. Hier leider nicht.
23.05.2019, 16:27	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzregeln sind manchmal ganz nützlich. $\begin{eqnarray} \left(\frac 56\right)^{2k-1} = \left(\left(\frac 56 \right)^2\right)^k \cdot \left(\frac 56\right)^{-1} \end{eqnarray}$

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