Isometrien

23.05.2019, 21:33	Mathemelanie	Auf diesen Beitrag antworten »
Isometrien Meine Frage: Liebe Freunde der Mathematik, in einer Übungsaufgabe soll folgende Behauptung gezeigt werden: Die Abbildung $\begin{eqnarray} \phi : G \rightarrow Sym(V), g \mapsto \phi_g \end{eqnarray}$ ist ein Monomorphismus. Dabei Sei $\begin{eqnarray} G:= O_n \times V \end{eqnarray}$ . Eine Verknüpfung ist folgendermaßen definiert: $\begin{eqnarray} :G \times G \rightarrow G, ((a,v),(b,w)):=(ab,aw+v). \end{eqnarray}$ Zur Information: $\begin{eqnarray} O_n \end{eqnarray}$ ist definiert als die Menge der invertierbaren Matrizen für die gilt $\begin{eqnarray} O_n= \lbrace a^ta=1_n \rbrace \end{eqnarray}$ Vielen Dank im Voraus mathemelanie Meine Ideen:* Ich habe bereits gezeigt, dass es sich bei G um eine Gruppe handelt. Mir macht es allerdings Schwierigkeiten die Abbildung von G in die Sym(3) zu verstehen. Ich wäre hier für einige Ideen sehr dankbar. Die Grundbegriffe (z.B. Monomorphusmus) sind mir soweit klar.
23.05.2019, 21:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo alle Definitionen fehlen kann man nur raten. Das ist keine Aufgabe sondern ein unlösbares Rätsel.
24.05.2019, 09:44	Mathemelanie	Auf diesen Beitrag antworten »
fehlende Definitionen Ich muss mich entschuldigen, ich habe natürlich vergessen mitzuteilen, wie die Abbildung $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ eigentlich definiert ist: $\begin{eqnarray} \phi_{(a,v)} :V \rightarrow V, x \mapsto ax + v \end{eqnarray}$ Die Sym(V) ist die Symmetrische Gruppe. Es handelt sich dabei um eine bijektive Abbildung von V nach V.
24.05.2019, 10:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wer oder was ist V ?
24.05.2019, 10:49	Mathemelanie	Auf diesen Beitrag antworten »
V ist ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Die Elemente aus V sind folglich Vektoren. Ich hatte angenommen, dass dies klar sei.
24.05.2019, 12:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Braucht man nicht einen endlichdimensionalen reellen Vektorraum mit Skalarprodukt, also einen euklidischen Vektorraum, um von orthogonalen Matrizen reden zu können ? Wenn du alle Voraussetzungen sauber aufschreibst, kannst du anfangen, die Dinge zu verstehen. Ich weiß nicht, wie das sonst gehen soll. Meine Fragen sind nicht nur rhetorisch, sie sollten dich auf den richtigen Weg bringen.
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