Faltung: übersehe die richtige Substitution

24.05.2019, 19:42	serkar	Auf diesen Beitrag antworten »
Faltung: übersehe die richtige Substitution :-? Hallo ihr lieben, Im Rahmen meiner Thesis, bin ich auf folgende Faltung gestoßen, in der ich einfach nicht blicke, welche Substitution zum gewünschten Ergebnis führt, also kurz $\begin{eqnarray} \int_\mathbb{R^d}\int_\mathbb{R^d}\Phi(x-y)\gamma(x)\overline{\gamma(y)}dxdy=\int_\mathbb{R^d}\Phi(x)\gamma \ast \tilde{\gamma}(x) dx <br /> \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \tilde{\gamma}(x):=\overline{\gamma(-x)} \end{eqnarray}$ und der Faltung wie folgt definiert : $\begin{eqnarray} f \ast g(x):=\int_\mathbb{R^d}f(y)g(x-y)dy. \end{eqnarray}$ Vielleicht entdeckt ihr meinen Fehler: $\begin{eqnarray} <br /> \int_\mathbb{R^d}\int_\mathbb{R^d}\Phi(x)\gamma(x)\overline{\gamma(y)}dxdy \underset{t=x-y ,\\ y=x-t, \\dt =-dy}{=}-\int_\mathbb{R^d}\int_\mathbb{R^d}\Phi(t)\gamma(x)\overline{\gamma(x-t)}dxdt\underset{x=-y ,\\ dx =-dy}{=}+\int_\mathbb{R^d}\int_\mathbb{R^d}\Phi(t)\gamma(-y)\overline{\gamma(-t-y)}dydt<br /> \overset{\ast\ast}{=}+\int_\mathbb{R^d}\int_\mathbb{R^d}\Phi(t)\gamma(-y)\overline{\gamma(-t-y)}dydt=\int_\mathbb{R^d}\Phi(t)\gamma\ast\overline{\gamma(-t)}dt=\int_\mathbb{R^d}\Phi(t)\gamma\ast\tilde{\gamma}(t)dt<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ast\ast \end{eqnarray}$ :hier geht glaube ich was schief Liebe Grüße und vielen Dank im Vorraus
24.05.2019, 20:01	serkar	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faltung: übersehe die richtige Substitution Habs gelöst bekommen, falls jemand die Lösung sehen will , einfach melden
24.05.2019, 20:01	serkar	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faltung: übersehe die richtige Substitution Habs gelöst bekommen, falls jemand die Lösung sehen will , einfach melden
24.05.2019, 20:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es beginnt wohl mit einem Schreibfehler. Im ersten Integral deiner Rechnung soll es vermutlich $\begin{align} \Phi(x-y) \end{align}$ heißen. Dann bin ich irritiert über die Vorzeichenwechsel. Die Funktionaldeterminanten deiner Substitutionen sind $\begin{align} (-1)^d \end{align}$ , der Betrag davon ist also 1. Somit findet bei keiner Substitution ein Vorzeichenwechsel statt. Meiner Meinung nach ist man gleich am Ziel: $\begin{align} \int \limits_{\mathbb{R}^d} \int \limits_{\mathbb{R}^d} \Phi(x-y) \cdot \gamma(x) \cdot \overline{\gamma(y)} ~ \dd x ~ \dd y \ = \ \int \limits_{\mathbb{R}^d} \int \limits_{\mathbb{R}^d} \Phi(t) \cdot \gamma(x) \cdot \underbrace{\ \overline{\gamma(x-t)} \ }_{\tilde{\gamma}(t-x)} ~ \dd x ~ \dd t \end{align}$ $\begin{align} = \int \limits_{\mathbb{R}^d} \Phi(t) \int \limits_{\mathbb{R}^d} \gamma(x) \cdot \tilde{\gamma}(t-x) ~ \dd x ~ \dd t \ = \ \int \limits_{\mathbb{R}^d} \Phi(t) \cdot \left( \gamma \tilde{\gamma} \right)(t) ~ \dd t \end{align*}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »