Teilfläche im Rechteck

24.05.2019, 19:43

Dopap

Teilfläche im Rechteck

ein Rechteck aus 2 Einheitsquadraten enthält einen Halbkreis über einer langen Seite. Die Diagonale schneidet diesen im Inneren.
Welchen Flächeninhalt hat die Teilfläche begrenzt durch
- lange Seite ungleich Halbkreisdurchmesser
- Halbkreis
- Diagonale ?

numerisch erhalte ich $\begin{eqnarray*} |A|\approx 0.07825\approx \frac{953}{12179} \end{eqnarray*}$

Was ist nun ein für den Taschenrechner geeignete exakte Term ?

24.05.2019, 20:36

klauss

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RE: Teilfläche im Rechteck
Kommt auf das TR-Modell an. Meiner kann auch mit
$\begin{eqnarray*} \frac{4-5arcsin\left(\frac{3}{5} \right) }{10} \end{eqnarray*}$
umgehen.

24.05.2019, 23:13

Dopap

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RE: Teilfläche im Rechteck
das ist gut so.
Kann wohl jeder TR. Augenzwinkern

Ich meinte eben einen Term ohne Integrale oder Limites oder...

Wie benennt man so etwas am besten ?

25.05.2019, 02:36

Dopap

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als Schüler würde ich beschweren wegen

$\begin{eqnarray*} A=0.4-0.5\arctan (0.75) \end{eqnarray*}$

25.05.2019, 02:47

klauss

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RE: Teilfläche im Rechteck

Zitat:

Original von Dopap
Kann wohl jeder TR.

Berechnen, klar - ich meinte auch im Display darstellen.

Aber worauf willst Du denn letztlich hinaus? Eine noch bessere Näherung?
Dein Bruch ist für praktische Zwecke doch schon verdammt gut …

25.05.2019, 04:12

Dopap

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nun mein TR hat für die Funktion kein extra Symbol wie z.B. für $\begin{eqnarray*} \int \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \sum \end{eqnarray*}$ Er verwendet dann einfach $\begin{eqnarray*} ATAN() \end{eqnarray*}$ .

Ich habe jetzt nochmals zur Sicherheit eine Simulation der geometrischen Wahrscheinlichkeit, daß ein Zufallspunkt im Rechteck im Zielgebiet landet durchgeführt und erhielt A=0.0781 weil man ja sonst nächtens nix zu tun hat Augenzwinkern

also scheint ja alles o.k. zu sein.

p.s. den Näherungswert faul mit 2 numerischen Integralen berechnet. Es würde aber noch viel genauer gehen.

25.05.2019, 23:35

klauss

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Zitat:

den Näherungswert faul mit 2 numerischen Integralen berechnet. Es würde aber noch viel genauer gehen.

Eigentlich eine ganz nette Übungsaufgabe, daher habe ich es mir nicht nehmen lassen, das alles schriftlich durchzuziehen. Interessanterweise stellen sich Teilergebnisse hier überwiegend (bis auf den arcsin) als freundliche Brüche dar. So ergibt sich der obige genaue Wert.

26.05.2019, 00:34

Leopold

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Die rote Fläche erhält man, indem man den grün schraffierten Sektor und das blau schraffierte Viereck vom Einheitsquadrat subtrahiert. Das Viereck setzt sich aus einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten $\begin{align*} x,y \end{align*}$ und einem Trapez zusammen. $\begin{align*} t \end{align*}$ sei der Mittelpunktswinkel des Sektors im Bogenmaß.

[attach]49285[/attach]

Für den gesuchten Flächeninhalt gilt somit

$\begin{align*} A = 1 - \frac{1}{2}t - \frac{1}{2}xy - \frac{1}{2} (y+1) (1-x) = \frac{1}{2} (1 + x - y - t) \end{align*}$

$\begin{align*} x \end{align*}$ und $\begin{align*} y \end{align*}$ können aus $\begin{align*} x^2 + y^2 = 1 \end{align*}$ und $\begin{align*} \frac{y}{1} = \frac{1+x}{2} \end{align*}$ berechnet werden. Für den Winkel gilt: $\begin{align*} \sin t = \frac{x}{1} \end{align*}$ , also $\begin{align*} t = \arcsin x \end{align*}$ . Man erhält so den von klauss angegebenen Wert.

26.05.2019, 13:23

Dopap

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fein, jetzt hat das einen sauberen Abschluss.

Ohne Zeichenprogramm muss ich die Objekte immer in Worten beschreiben, was letztlich aber eine gute Übung zu Vollständigkeit und Redundanzfreiheit ist.

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