Extrema berechnen

25.05.2019, 11:55

Mathman91

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Extrema berechnen

Hallo zusammen,

ich habe folgendes Beispiel berechnet:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-9x \end{eqnarray*}$

Für den Bruch habe ich die Quotientenregel angewendet:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{u}{v} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{u'*v-v'*u}{v^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=1x^{3},\;u'=3x^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=3,\;v'=0 \end{eqnarray*}$

Einsetzen der Werte:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{3x^{2}*3-0*1x^{3}}{3^{2}}-9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{9x^{2}}{9}-9 \end{eqnarray*}$

Die 9 kann ich kürzen und erhalte:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=x^{2}-9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=2x \end{eqnarray*}$

Erste Ableitung 0 setzen:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=x^{2}-9=0 \end{eqnarray*}$

"xo" schreibe ich mit an:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=x^{2}+0x-9=0 \end{eqnarray*}$

Hier wende ich die PQ-Formel an:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{P}{2}\pm\sqrt{(\frac{P}{2})^{2}-Q} \end{eqnarray*}$

Einsetzen:

$\begin{eqnarray*} P=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Q=-9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1}=-\frac{0}{2}+\sqrt{(\frac{0}{2})^{2}-(-9)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2}=-\frac{0}{2}-\sqrt{(\frac{0}{2})^{2}-(-9)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1}=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2}=-3 \end{eqnarray*}$

Kriterien für Extrema:

$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=0,\;f''(x_0)>0 = lokales\;minimum \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=0,\;f''(x_0)<0 = lokales\;maximum \end{eqnarray*}$

Einsetzen der Ergebnisse:

$\begin{eqnarray*} f''(x_1)=2*x_1=2*3=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x_2)=2*x_2=2*(-3)=-6 \end{eqnarray*}$

Hier ist x1 ein Hochpunkt und x2 ein Tiefpunkt.

Habe ich das richig gerechnet?

Viele Grüße

25.05.2019, 12:01

G250519

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RE: Extrema beispiel berechnen
Warum so kompliziert?
Man braucht wederdie Quotientenregel noch die pq-Formel.

Zitat:

Hier ist x1 ein Hochpunkt und x2 ein Tiefpunkt.

Es ist umgekehrt.

25.05.2019, 12:01

Equester

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Uff,
also erstmal ist bis auf die Auswertung der Ergebnisse, alles richtig. Aber meist ungemein kompliziert.

1. Warum nutzt du die Quotientenregel? 1/3 ist doch nur eine Zahl. Die Quotientenregel brauchen wir nur dann, wenn im Nenner ein x vorliegt...was hier nicht der Fall ist.
Leite einfach Summandenweise ab und betrachte 1/3 als konstanten Faktor.

2. $\begin{eqnarray*} x^2-9 = 0 \end{eqnarray*}$ braucht keine pq-Formel Augenzwinkern

Augenzwinkern

. So wie du das gemacht hast, ist das zwar richtig und kannst du auch weiterhin so handhaben (sehr gut, dass du +0x erkannt und hinzugefügt hast), ist aber unnötig kompliziert. Entweder erkennst du direkt die dritte binomische Formel, oder zumindest rechnest du so:
$\begin{eqnarray*} x^2 - 9 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2 = 9 \end{eqnarray*}$
Nun die Wurzel ziehen und du kommst auf das Ergebnis von dir. In beiden Fällen deutlich schneller, als über die pq-Formel.

Zum Fehler:
Du hast die Bedingungen für Maxima und Minima richtig aufgeschrieben, aber falsch angwendet. Für x = -3 haben wir doch f''(-3) < 0 und damit ein Maximum. Das hast du als Minimum deklariert.

smile

smile

26.05.2019, 17:09

Mathman91

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Danke für die Hilfe.

Ja, ich habe x1 und x2 aus versehen vertauscht.

O.K., also wende ich einfach die Summenregel an.
Diese besagt, das ich gliedweise Ableiten darf:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-9x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{3}{3}x^{2}-9 \end{eqnarray*}$

Nun kürze ich: $\begin{eqnarray*} \frac{3}{3} \end{eqnarray*}$ und erhalte:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=x^{2}-9 \end{eqnarray*}$

...

Richtig so?

SG

27.05.2019, 07:21

Equester

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So sieht das schon viel appetitlicher aus Freude

Freude

.

27.05.2019, 08:33

Mathman91

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Nochmals danke für die tolle Hilfe!!

Viele Grüße aus Kärnten.

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27.05.2019, 08:58

Equester

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Gerne

Augenzwinkern

.

Wink

27.05.2019, 12:10

Dopap

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Zitat:

Original von Equester
[...]
$\begin{eqnarray*} x^2 = 9 \end{eqnarray*}$
Nun die Wurzel ziehen [...]

sorry, das darf man NIE sagen.

Unzähligen musste ich mühsam wieder
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x=3 \end{eqnarray*}$ ausreden.

27.05.2019, 15:24

Mathman91

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Was darf man NIE sagen??

27.05.2019, 15:47

Steffen Bühler

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Gemeint ist wohl, dass das Ergebnis des Wurzelziehens die Quadratwurzel ist, womit hier aber nur eine der beiden Lösungen gefunden wird, nämlich die positive.

Viele Grüße
Steffen

27.05.2019, 16:56

Dopap

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und Potenzregeln gelten nur für positive Basen.

Als Äquivalenzumformung kann man auch $\begin{eqnarray*} |x|=3 \end{eqnarray*}$ verwenden.

Oder man nagelt mit der Frage nach Art des Objekt den Kandidaten ( Kandidatinnen oder was auch immer ) auf
Quadratische Gleichung
fest. Dann fällt meist schon der Groschen...

28.05.2019, 06:19

Mathman91

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Komm da jetzt nicht mit, was an seiner Aussage falsch ist.
Aber egal, ich kenne mich jetzt aus.

SG

28.05.2019, 09:04

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde die Aussage zwar eher missverständlich als falsch, aber gemeint ist, dass es gefährlich sein kann, "auf beiden Seiten die Wurzel zu ziehen". Aus "x²=9" wird dann eben nur "x=3" (wegen der genannten Definition der Quadratwurzel) und die zweite Lösung -3 fällt unter den Tisch.

28.05.2019, 11:22

Equester

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Zitat:

Original von Dopap

Zitat:

Original von Equester
[...]
$\begin{eqnarray*} x^2 = 9 \end{eqnarray*}$
Nun die Wurzel ziehen [...]

sorry, das darf man NIE sagen.

Unzähligen musste ich mühsam wieder
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x=3 \end{eqnarray*}$ ausreden.

So hab ich das einst gelernt und schon oft gehört. Da es hier um eine Gleichung handelt, sollte klar sein, was/wie das gemeint ist. Mir würde spontan auch keine andere sprechende Formulierung einfallen.

"Die Definition der Quadratwurzel" kenn und wende ich nur an, wenn es um Zahlen geht.

28.05.2019, 12:43

Dopap

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spätestens bei $\begin{eqnarray*} x^2-9=0 \end{eqnarray*}$ nach den Nullstellen ( Lösungsmenge ) fragen Augenzwinkern

Augenzwinkern

oder den Schüler eben die pq Formel anwenden lassen.

Die Problematik kommt wohl aus der Geometrie: die Seitenlänge eines quadratischen Ackers von 10375 m² Fläche beträgt ...

28.05.2019, 12:46

Equester

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Zitat:

Original von Dopap
spätestens bei $\begin{eqnarray*} x^2-9=0 \end{eqnarray*}$ nach den Nullstellen ( Lösungsmenge ) fragen Augenzwinkern

Augenzwinkern

oder den Schüler eben die pq Formel anwenden lassen.

Die Nullstellen wurden schon berechnet. Mit der pq-Formel. Was unnötig ist. Deshalb mein Hinweis, das schneller/einfacher zu machen.

28.05.2019, 14:27

mYthos

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Die Problematik wird mittels Zerlegung in Linearfaktoren umgangen:

$\begin{eqnarray*} x^2 - 9 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x + 3)(x - 3) = 0 \end{eqnarray*}$

Satz vom Nullprodukt: Jeden Faktor Null setzen:

$\begin{eqnarray*} x = 3 \ \vee \ x = -3 \end{eqnarray*}$

mY+

28.05.2019, 15:21

Equester

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Tut mir leid, das ist für mich immer noch nicht "umgangen". Die dritte binomische Formel hatte ich als Vorschlag gebracht, ist aber für Schüler oft nicht intuitiv zu sehen.
Ein $\begin{eqnarray*} x^2 = 9 \end{eqnarray*}$ zu lösen hingegen eine weitere Alternative zu den genannten Methoden.

Schriftlich würde ich das so verdeutlichen:

$\begin{eqnarray*} x^2 = 9\quad|\sqrt{} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \pm3 \end{eqnarray*}$

Persönlich sehe ich auch kein Problem die erste Zeile mit den Worten "Wurzel ziehen" zu übersetzen, auch wenn ich die Bedenken von Dopap nachvollziehen kann. Aber ohne einen Alternativvorschlag kein gewichtig genuger Punkt meine Formulierung zu ändern/sein zu lassen...ich bin weiterhin der Meinung, dass die Sachlage klar ist.

28.05.2019, 16:19

mYthos

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Ja, lass' es so.
Umgangen ist es daher möglicherweise nicht, aber eine alternative Methode allemal.

LG P+

28.05.2019, 22:08

Mathman91

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Man sieht das ja an der zweiten Ableitung, ob man zwei oder nur ein Ergebnis hat.

Wenn z.B.: $\begin{eqnarray*} f''(x)=2x \end{eqnarray*}$ bei der zweiten Ableitung herauskommt, dann habe ich zwei Lösungen.

Somit weiß ich, das ich einmal x1 & x2 habe.

Wenn: $\begin{eqnarray*} f''(x)=2 \end{eqnarray*}$ ergeben würde, dann habe ich meine Lösung ja schon und muss nur mehr das Extremum bestimmen.

Nur ein Beispiel.

Für mich war die Antwort von "Equester" von Anfang an verständlich.

SG

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