Verständnisfragen zu orthogonalen Matrizen

25.05.2019, 15:06	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisfragen zu orthogonalen Matrizen Hey Leute 1. Können allgemein im (euklidischen) $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ orthogonale Matrizen ebenfalls als "Drehungen" und "Spiegelungen" aufgefasst werden? Wie ist die Interpretation im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{2k} \end{eqnarray}$ ? Also was passiert, wenn im 2 oder 4 dimensionalen Raum mal alle Eigenwerte komplex sind? 2. Da jeder orthogonale Endomorphismus ein Produkt von endlich vielen Spiegelungen ist, kann ich einfach sagen: Jede orthogonale Matrix ist das Produkt endlich vieler Drehspiegelmatrizen oder sogar nur Spiegelmatrizen? (Damit wäre ja jede Drehung ein Produkt von Spiegelungen und jede Spiegelung wäre eine Drehung!!!) 3. Stimmt die Interpretation des folgenden Beispiels, das ich mir ausgedacht habe? Sei $\begin{eqnarray} Q=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & -1 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{det}(Q)=-1 \end{eqnarray}$ mit Eigenwerten -1 und $\begin{eqnarray} \pm\mathrm{i} \end{eqnarray}$ . Damit ist $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ eine Drehspiegelmatrix. EV zu -1 ist $\begin{eqnarray} e_1 \end{eqnarray}$ , die Spiegelebene $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ und die zugehörige Spiegelmatrix damit $\begin{eqnarray} S=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Als Drehmatrix habe ich ausgerechnet $\begin{eqnarray} D=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit Drehachse ebenfalls $\begin{eqnarray} e_1 \end{eqnarray}$ (Zufall?) und Drehwinkel $\begin{eqnarray} -\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ . Ich denke alles stimmt soweit, weil auch gilt: $\begin{eqnarray} Q=S\cdot D \end{eqnarray}$ . Interpretation: Das Multiplizieren mit der Matrix $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ (von links) führt erst zu einer Drehung um -90 Grad um die x-Achse und dann zu einer Spiegelung an der y-z-Ebene. Stimmt das???
26.05.2019, 21:33	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfragen zu orthogonalen Matrizen 1. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos \varphi \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist auch eine Drehmatrix, der Fall gerader Dimension ist also kein grundsätzliches Problem. In jedem Fall zerfällt das charakteristische Polynom in lineare oder quadratische Faktoren. Mir ist ad hoc aber nicht klar, ob die algebraische Vielfachheit immer mit der geometrischen übereinstimmt. Dann könnte man eine orthogonale Abbildung in der Tat als eine Kombination von Drehungen und Spiegelungen in verschiedenen Unterräumen verstehen. Vermutlich geht das, weil man sonst (Stichwort Jordankästchen) einen invarianten Unterraum findet, auf dem Q keine Isometrie ist. 2. Allgemein ist jede Isometrie im n-dimensionalen Raum das Produkt von höchstens n Spiegelungen an Hyperebenen (also n-1-dimensionalen Unterräumen). Daraus folgt natürlich nicht, dass jede Spiegelung eine Drehung wäre. Das sieht man schon an der Dimension des Eigenraumes zum EW 1. 3. Wegen $\begin{eqnarray} Q=SD=DS \end{eqnarray}$ kann man auch erst spiegeln und dann drehen.
27.05.2019, 09:18	MasterWizz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfragen zu orthogonalen Matrizen Super! Vielen Dank für deine Zeit und gute Antworten, URL!!

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