Extremstellen einer Funktion bestimmen

27.05.2019, 15:31

DannyNRW

Extremstellen einer Funktion bestimmen

Hi zusammen,

ich habe ein Problem mit folgender Funktion:
$\begin{eqnarray*} sin\left(2\pi*x\right) + \frac{1}{2} *sin\left(4\pi*x+\frac{3\pi}{4}\right) \end{eqnarray*}$

Und zwar möchte ich davon die Extremstellen berechnen:
Die erste Ableitung habe ich bereits gebildet:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=2\pi*cos(2\pi*x)+2\pi*cos\left(4\pi*x+\frac{3\pi}{4}\right) \end{eqnarray*}$

Diese setze ich nun =0, um die Kandidaten für die Extremstellen zu bestimmen und forme das ganze nach x um. Nur habe ich ein Problem beim Auflösen der Klammer für den Kosinus. Mein Gedanke war folgender. Für jeden Term den arc cos bilden, wodurch folgender Ausdruck entsteht:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=2\pi*2\pi*x+2\pi*4\pi*x+\frac{3\pi}{4}=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Wo liegt mein Fehler?

27.05.2019, 16:01

Steffen Bühler

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RE: Extremstellen einer Funktion bestimmen
Forme die Cosinussumme nach den Additionstheoremen zu einem Produkt um.

Viele Grüße
Steffen

27.05.2019, 17:02

Leopold

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RE: Extremstellen einer Funktion bestimmen

Zitat:

Original von DannyNRW
Mein Gedanke war folgender. Für jeden Term den arc cos bilden, wodurch folgender Ausdruck entsteht

Der Arcuscosinus kehrt die Cosinusfunktion im Intervall $\begin{align*} [0,\pi] \end{align*}$ um. Dein Term ist aber kein Cosinusterm, sondern die Summe (!) aus zwei mit konstanten Faktoren behafteten Cosinustermen. Dein Gedanke war, ehrlich gesagt, ganz schlecht. Du hast schlicht den Cosinus weggelassen. Ja, wenn das so einfach wäre!

28.05.2019, 14:31

DannyNRW

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RE: Extremstellen einer Funktion bestimmen

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Forme die Cosinussumme nach den Additionstheoremen zu einem Produkt um.

Viele Grüße
Steffen

Wäre der Ansatz dann dieser hier?

$\begin{eqnarray*} cos(x+y) = cos(x) * cos(y) - sin(x) * sin(y) \end{eqnarray*}$

28.05.2019, 14:45

Steffen Bühler

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RE: Extremstellen einer Funktion bestimmen
Nein, da wird ja keine Summe zu einem Produkt. Schau mal weiter unten bei "Summen zweier trigonometrischer Funktionen":

$\begin{eqnarray*} \cos x + \cos y = 2 \cos \frac {x+y}2 \cos \frac {x-y}2 \end{eqnarray*}$

Und dann der Satz vom Nullprodukt.

28.05.2019, 15:12

DannyNRW

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RE: Extremstellen einer Funktion bestimmen

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Nein, da wird ja keine Summe zu einem Produkt. Schau mal weiter unten bei "Summen zweier trigonometrischer Funktionen":

$\begin{eqnarray*} \cos x + \cos y = 2 \cos \frac {x+y}2 \cos \frac {x-y}2 \end{eqnarray*}$

Und dann der Satz vom Nullprodukt.

Danke, ich werde mich damit beschäftigen. Freude

28.05.2019, 20:18

Leopold

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Man braucht hier keine Additionstheoreme oder Ähnliches. Vielmehr genügt es, sich klarzumachen, was aus der Gleichheit zweier Cosinuswerte für die Argumente geschlossen werden kann:

$\begin{align*} \cos(u) = \cos(v) \ \ \Leftrightarrow \ \ u \equiv v \pmod{2 \pi} \quad \vee \quad u \equiv - v \pmod{2 \pi} \end{align*}$

Die Nullstellenbestimmung für $\begin{align*} f' \end{align*}$ führt auf

$\begin{align*} \cos \left(4 \pi x + \frac{3}{4} \pi \right) = - \cos \left( 2 \pi x \right) \end{align*}$

$\begin{align*} \cos \left(4 \pi x + \frac{3}{4} \pi \right) = \cos \left( 2 \pi x + \pi \right) \end{align*}$

Jetzt kann man die obige Regel für $\begin{align*} u = 4 \pi x + \frac{3}{4} \pi \end{align*}$ und $\begin{align*} v = 2 \pi x + \pi \end{align*}$ anwenden. Man erhält die Fälle:

1. Fall

$\begin{align*} 4 \pi x + \frac{3}{4} \pi = 2 \pi x + \pi + 2 \pi k \ \ \text{mit} \ k \in \mathbb{Z} \end{align*}$

$\begin{align*} x = \dots \end{align*}$

2. Fall

$\begin{align*} 4 \pi x + \frac{3}{4} \pi = - \left( 2 \pi x + \pi \right) + 2 \pi k \ \ \text{mit} \ k \in \mathbb{Z} \end{align*}$

$\begin{align*} x = \dots \end{align*}$

Sollte der Definitionsbereich eingeschränkt sein, was viele Fragesteller in der Aufgabe oft überlesen, weil sie es für unwesentlich halten, müßten die gültigen $\begin{align*} k \end{align*}$ noch entsprechend ausgewählt werden.

Komplettlösungen entfernt. Bitte das Boardprinzip beachten. Steffen

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