Konvergenz von Teilfolgen

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27.05.2019, 15:39	Mathemike98	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Teilfolgen Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ eine Folge in R. Zeigen Sie: Konvergieren die Teilfolgen $\begin{eqnarray} a_{2n} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a_{2n+1} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a_{3n} \end{eqnarray}$ , so konvergiert auch $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: mein ansatz wäre es zu zeigen, dass alle 3 Teilfolgen denselben Grenzwert besitzen, nur leider weiß ich nicht wie genau ich dies beginne zu beweisen.
27.05.2019, 15:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach Voraussetzung gilt $\begin{eqnarray} a_{2n}\to \alpha,a_{2n+1}\to \beta,a_{3n}\to \gamma \end{eqnarray}$ Betrachte $\begin{eqnarray} a_{3n}=(a_0,a_3,a_6,a_9,...) \end{eqnarray}$
27.05.2019, 16:28	mathemike98	Auf diesen Beitrag antworten »
dann ist also $\begin{eqnarray} a_{3n} \end{eqnarray}$ eine teilfolge aus den anderen beiden beiden oder? aber das hilft mir ehrlich gesagt nicht weiter...
27.05.2019, 16:44	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir hilft es, wenn ich die einzelnen Glieder der Folge $\begin{eqnarray} (a_0,a_3,a_6,a_9,...) \end{eqnarray}$ als Glieder der 3 Folgen betrachte, die gegen $\begin{eqnarray} \alpha, \beta,\gamma \end{eqnarray}$ konvergieren.
27.05.2019, 17:53	mathemike98	Auf diesen Beitrag antworten »
dann konvergieren alle teilfolgen gegen $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$
27.05.2019, 17:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist klar. Und was machen die darin enthaltenen Teilfolgen mit geradem und ungeradem Index ?
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27.05.2019, 20:21	Mathemike98	Auf diesen Beitrag antworten »
Die darin enthaltenen teilfolgen konvergieren auch.
28.05.2019, 05:45	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss ja. Wogegen konvergieren sie?
28.05.2019, 06:48	Mathemike98	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja nach definition gegen gamma...
28.05.2019, 07:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Definition ? Schau dir noch einmal deine Frage und meine erste und zweite Antwort an.
28.05.2019, 13:35	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Geht wohl gerade um diese Aufgabe: Beweis Konvergenz
28.05.2019, 14:00	mathemike98	Auf diesen Beitrag antworten »
also wähle ich weiter teilfolgen aus $\begin{eqnarray} a_{2n} \end{eqnarray}$ , zum beispiel $\begin{eqnarray} a_{6n} \end{eqnarray}$ oder?
28.05.2019, 16:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest deine Gedanken und Sätze zu Ende bringen, sonst kommst du nie zum Ziel. Was ist mit $\begin{eqnarray} (a_{6n}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (a_{6n+3}) \end{eqnarray}$ ? Auswählen alleine genügt nicht, du musst Aussagen darüber machen.
28.05.2019, 16:10	Marco99*	Auf diesen Beitrag antworten »
dann ist $\begin{eqnarray} a_{6n} \subseteq a_{3n} , sowie \subseteq a_{2n} \end{eqnarray}$ und da da die Teilfolge konvergiert und der Grenzwert eindeutig ist gilt: $\begin{eqnarray} \alpha = \gamma \end{eqnarray}$
28.05.2019, 16:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und die andere Teilfolge ? Und die ganze Folge $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ um die es in der Frage geht ?
28.05.2019, 16:17	Marco99*	Auf diesen Beitrag antworten »
die geht doch analog dazu nur dass dann beta = gamma gilt...
28.05.2019, 16:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \alpha = \beta =\gamma \end{eqnarray}$ , das ist die halbe Miete. Jetzt fehlt noch der letzte Schluß, und ordentlich aufschreiben kann auch nicht schaden.
28.05.2019, 16:24	Marco99*	Auf diesen Beitrag antworten »
dies entspricht der Konvergenz der Gesamtfolge (an) da (a2n) und (a2n+1) alle Folgenelemente trifft. auf dem Blatt hab ichs schon ordentlich stehen, dass man es nachvollziehen kann aber vielen dank für die hilfe
28.05.2019, 16:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, aber du darfst dich nicht bei mir beschweren, wenn es dem Korrektor nicht ordentlich genug ist. Andererseits darfst du dich natürlich bei mir beschweren, das ist mir aber egal.

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