Limes/Stetigkeit bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen

27.05.2019, 18:19

java123

Limes/Stetigkeit bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen

Hallo Liebe Community,
ich steh mal wieder etwas an, da ich zum ersten Mal mit Funktionen mit mehreren Veränderlichen konfrontiert bin.
Gegeben ist folgendes(siehe Anhang).
Kann ich hier wie folt vorgehen: ich berechne zuerst lim x->0 {lim y -> 0 f(x,y) } = lim x-> 0 x^3/x^2, was für x -> 0 ja gegen 0 strebt.
Genau gleich für y.
Kann ich daraus schließen, dass die Funktion gegen 0 strebt(für alle x,y also auch stetig am Punkt (0,0) ist), oder muss ich hier anders vorgehen? Stehe leider wirklich an, und würde mich über hilfe freuen.
LG

27.05.2019, 21:51

Leopold

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Der Grenzübergang muß für $\begin{align*} x,y \end{align*}$ simultan erfolgen: $\begin{align*} (x,y) \to (0,0) \end{align*}$ , und nicht nacheinander: erst $\begin{align*} y \to 0 \end{align*}$ , dann $\begin{align*} x \to 0 \end{align*}$ . Als Grenzwert kommt ja nur 0 in Frage, der Funktionswert bei $\begin{align*} (0,0) \end{align*}$ . Damit ist zu zeigen, daß zu $\begin{align*} \varepsilon>0 \end{align*}$ ein $\begin{align*} \delta>0 \end{align*}$ existiert mit

$\begin{align*} \left| f(x,y) \right| < \varepsilon \ \ \mbox{für} \ \ N(x,y)<\delta \end{align*}$

Für $\begin{align*} N(x,y) \end{align*}$ kannst du irgendeine Norm nehmen, zum Beispiel die euklidische Norm: $\begin{align*} N(x,y) = \sqrt{x^2+y^2} \end{align*}$ , oder die Maximumsnorm: $\begin{align*} N(x,y) = \max\{|x|,|y|\} \end{align*}$ , oder die Summennorm: $\begin{align*} N(x,y) = |x|+|y| \end{align*}$ , oder eine andere. Am besten die, mit der es sich am einfachsten rechnen läßt.

Für $\begin{align*} (x,y) \neq (0,0) \end{align*}$ könnte man folgendermaßen abschätzen:

$\begin{align*} \left| f(x,y) \right| = \frac{\left| x^3 + y^3 \right|}{x^2 + y^2} = \frac{\left| x+y \right| \cdot \left(x^2 - xy + y^2 \right)}{x^2 + y^2} = \left| x+y \right| \cdot \left( 1 - \frac{xy}{x^2 + y^2} \right) \leq \frac{3}{2} \cdot \left| x+y \right| \end{align*}$

Dabei habe ich die Abschätzung $\begin{align*} \frac{\left| xy \right|}{x^2 + y^2} \leq \frac{1}{2} \end{align*}$ verwendet. Warum die gilt und wie es oben weitergeht, kannst du ja selbst einmal überlegen.

27.05.2019, 23:59

HNF

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Hallo,

Eine andere Möglichkeit wäre Polarkoordinanten zu verwenden. Man setzt dann: $\begin{eqnarray*} x=rcos(\phi), y=rsin(\phi) \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} r>0, \phi \in \left[0, 2pi\right) \end{eqnarray*}$
Anschließend lässt man den Limes für r gegen Null laufen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{r \to 0} f(rcos(\phi); rsin(\phi)) \end{eqnarray*}$

Vlt. ist diese Idee angenehmer.

28.05.2019, 11:06

java123

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Hallo,
vielen Dank euch beiden für die Lösungsansätze, werde mich heut Abend hinsetzen und beide rechnen, um in dem Thema sicherer zu werden.
Meine Frage zu HNFs Vorschlag: darf hier einfach in Polarkoordinaten transformiert werden? Dann hätt ich das Ergebniss ja fast direkt dastehen: $\begin{eqnarray*} \lim_{r \to 0} \frac{ r^{3} \cdot \left(\cos(\alpha )^{3}+ \sin(\alpha)^{3} \right)}{ r^{2} \cdot \left(\cos(\alpha )^{2}+ \sin(\alpha)^{2}\right)} \end{eqnarray*}$ und das kovergiert trivialerweise gegen 0. Darf man das so einfach machen?
Danke und LG!

28.05.2019, 11:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von java123
Meine Frage zu HNFs Vorschlag: darf hier einfach in Polarkoordinaten transformiert werden?

Im Prinzip ja. Man betrachtet eine beliebige Nullfolge von Punkten (x_n, y_n) . Abgesehen vom Nullpunkt existiert zu jedem Punkt ein eindeutig bestimmtes Paar $\begin{eqnarray*} (r_n, \phi_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (x_n, y_n) = r \cdot (cos(\phi_n), sin(\phi_n)) \end{eqnarray*}$ . Die Konvergenz von (x_n, y_n) gegen den Nullpunkt ist dann äquivalent zur Konvergenz von r gegen Null.

Zitat:

Original von java123
Darf man das so einfach machen?

Das folgt aus dem oben Gesagten. smile

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