Konvergenz einer Reihe

28.05.2019, 16:34

Marco99*

Konvergenz einer Reihe

Meine Frage:
Zu prüfen ist, ob die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\sqrt{k}-\sqrt{k-1}}{k} \end{eqnarray*}$
(absolut-) Konvergent oder divergent ist.

Meine Ideen:
ich habe mittels des Quotientenkriteriums das Ergebnis
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$
und ich sehe ein, dass dies kleiner als 1 ist heißt das, dass es absolut konvergent ist?

28.05.2019, 17:26

Matt Eagle

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RE: Konvergenz einer Reihe
Der Quotient muss aber durch ein $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ nach oben abgeschätzt werden.
Also funktioniert dieses Argument hier nicht.

Erweitere lieber den Zähler gemäß 3. binomischer Formel.

Wenn Du dann noch weißt (oder zeigst), dass $\begin{eqnarray*} \sum \frac 1{n^\alpha} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \alpha>1 \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann war's das schon.

28.05.2019, 17:42

Marco99*

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RE: Konvergenz einer Reihe
Also ohne Quotientenkriterium nur den Term oben erweitern dann bleibt übrig:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k(\sqrt{k}+\sqrt{k-1})} \end{eqnarray*}$

31.05.2019, 08:33

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe

Zitat:

Original von Marco99*
ich habe mittels des Quotientenkriteriums das Ergebnis
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$

Hm. Ich kann beim besten Willen nicht erkennen, wie du auf diesen Ausdruck gekommen bist. verwirrt

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