Grenzwert einer rekursiven Folge

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nichtmehrersti Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer rekursiven Folge
Wir haben gestern in der Übung gelernt, dass man den Grenzwert einer rekursiven Folge bestimmt indem man setzt:
und umformt.
Nun habe ich hier die Aufgabe

.

Ich habe das mit vollständiger Induktion untersucht auf Monotonie (steigend) und Beschränktsein (2).

Aber wenn ich nun das Vorgehen von oben nehme (also quadriere und umforme) erhalte ich .

Aber das stimmt ja nicht? Wie komme ich denn hier auf den Grenzwerz bitte?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Aus der Rekursionsgleichung folgt durch Quadrieren sowie anschließendes Addieren von





Definiert man nun , so kann man (*) als lesen, es folgt für alle dann



und wieder rücksubstituiert . Diese Folge konvergiert offenkundig gegen .


Zitat:
Original von nichtmehrersti
Wir haben gestern in der Übung gelernt, dass man den Grenzwert einer rekursiven Folge bestimmt indem man setzt:
und umformt.

Dann hast du Unsinn gelernt. Diese Methodik ist allenfalls geeignet für rekursive Folgen vom Typ . Die vorliegende Folge ist NICHT von diesem Typ, sondern es geht auch noch explizit Wert ein, d.h., es geht eher um . Und für diesen Typ ist der obige Vorschlag schlicht Makulatur.
 
 
nichtmehrersti Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend HAL 9000,

vielen, vielen Dank für die Antwort.
Bis auf eine Sache ist mir auch alles klar: Woher aber kommt der Schritt, dass gilt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt für ALLE , damit ist die Folge KONSTANT, es sind somit alle Folgenglieder gleich dem ersten .
nichtmehrersti Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Es gilt für ALLE , damit ist die Folge KONSTANT, es sind somit alle Folgenglieder gleich dem ersten .


Ah, natürlich geschockt
Sehr interessant! Ich höre das nun zum dritten Mal, aber so eine elegante und doch herausfordernde Rekursionsaufgabe hatten wir noch nie. Ich habe gerade mehr gelernt als am Ganzen Tag und das Dank dir! Vielen Dank!

P.S. Deinen Nachtrag habe ich auch gelesen und mache morgen mal darauf aufmerksam.

Danke nochmals und schönen Abend!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dieselbe Folge wird übrigens von der Rekursion erzeugt. In dieser anderen Form ist die Rekursion dann tatsächlich vom Typ , und zwar mit . Eine Fixpunktgleichung der Form führt hier dann tatsächlich zu . Klappt aber eben nur, weil kein (außer als Index von ) rechts in der Rekursionsgleichung auftaucht!
nichtmehrersti Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja eine sehr interessante Feststellung geschockt
Hm...wie hast du das gesehen?
Ich hab' das in der Klammer zwar auf einen Bruch gepackt, aber geholfen hat es mir nicht Big Laugh
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von nichtmehrersti
Hm...wie hast du das gesehen?

Das ist KEIN Umbau der originalen Rekursion, sondern eine aus dem expliziten Endergebnis "neu" gebaute, andere Rekursion. Insofern verstehe das nicht als Lösung der Originalaufgabe, sondern nur als Beispiel, wo deine originale Idee tatsächlich geklappt hätte.
nichtmehrersti Auf diesen Beitrag antworten »

OK!
Ich bin immer wieder erstaunt was alles so geht! Auch wenn mich das meiste davon leider erschlägt... unglücklich
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Variation von HALs Vorgehen:
Aus der Rekursionsgleichung folgt durch Quadrieren
Definiert man nun , dann ist
Also
nichtmehrersti Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja toll! Danke! Freude Freude
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Fixpunktgleichung muss nicht unbedingt aussagekräftig genug sein, um den Grenzwert finden zu können. Es ist ja nur eine notwendige Bedingung, dass der Grenzwert einer konvergenten Iteration die Fixpunktgleichung erfüllt (sofern stetig ist). Es kann viele Fixpunkte geben, unendlich viele.

Die vorgelegte Rekursion lässt sich z.B. auftrennen in das System


Das ist die Fixpunktiteration mit

Die Fixpunktgleichung führt hier auf die nichtssagende Bedingung und . Vermutlich liegt das auch daran, dass das System nicht stark genug gekoppelt ist.

Man sieht zumindest, dass die Fixpunkte (des Systems) sein müssen.

Betrachten wir nun die Jacobi-Matrix:

Für die Fixpunkte gilt

Für die Eigenwerte ergibt sich die Gleichung

Demnach ist und . Wären die Eigenwerte betragsmäßig alle kleiner als eins, hätten wir einen stabilen Fixpunkt, wäre mindestes ein Eigenwert betragsmäßig größer als eins, läge ein instabiler Fixpunkt vor.

Leider ist das Maximum der Eigenwerte überall genau eins.

Der Fixpunktansatz ist hier insofern fast gänzlich von Substanzlosigkeit geprägt.
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