Drehung von Matrizen im R2

28.05.2019, 21:22	regalia95	Auf diesen Beitrag antworten »
Drehung von Matrizen im R2 Meine Frage: Hi habe ein wenig schwierigkeiten mit der Drehung bei Matrizen, wäre toll wenn mir jemand helfen mag, eine Erklärung wäre gut Meine Ideen: Ideen habe ich leider keine :/
28.05.2019, 21:38	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Drehung von Matrizen im R2 Du wirst doch eine Definition von Drehung haben und möglicherweise auch charakteristische Eigenschaften. Wie lauten die?
28.05.2019, 22:17	regalia95	Auf diesen Beitrag antworten »
Also nur durchs sehen, würde ich behaupten, dass C: eine Drehung von r2 ist, jedoch weiß ich nicht, wie man dies rechnerich beweist
28.05.2019, 22:25	HNF	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Eine Matrix ist eine Drehmatrix, wenn ihre Determinante 1 und die Matrix orthogonal ist.
28.05.2019, 22:53	regalia95	Auf diesen Beitrag antworten »
Super das hat mir geholfen a) zu lösen, jetzt bräuchte ich nur noch hilfe für die drehachse/winkel in b)
28.05.2019, 23:08	HNF	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Drehachse ist definiert als der Eigenvektor zum Eigenwert 1. Du musst also ein LGS lösen, um den Eigenvektor zu erhalten und damit die Drehachse.
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28.05.2019, 23:48	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Rotationsmatrix darf doch die Länge eines Vektors nicht ändern. D.h. für eine Rotationsmatrix $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ muss $\begin{eqnarray} \|v\|=\|Rv\| \end{eqnarray}$ für alle Vektoren $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ sein. Dann ist auch $\begin{eqnarray} \|v\|^2=\|Rv\|^2 \end{eqnarray}$ und daher $\begin{eqnarray} \|v\|^2 = \langle v,v\rangle = \langle Rv,Rv\rangle = \langle R^T Rv,v\rangle \end{eqnarray}$ . Außerdem wird eine ONB doch in eine ONB überführt, d.h. $\begin{eqnarray} \langle Re_i,Re_j\rangle = \langle R^T Re_i,e_j\rangle = 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i\ne j \end{eqnarray}$ . Nun kann eine ONB gerade dazu verwendet werden, mit dem Skalarprodukt Komponenten aus einem Vektor herauszuprojizieren: (1) $\begin{eqnarray} R^T Re_1 = \langle e_1,R^T Re_1\rangle e_1+\langle e_2,R^T Re_1\rangle e_2 = 1e_1+0e_2=1e_1 \end{eqnarray}$ . Entsprechend gilt (2) $\begin{eqnarray} R^T Re_2 = 1e_2 \end{eqnarray}$ . Daraus ergibt sich $\begin{eqnarray} R^T Rv=v \end{eqnarray}$ für jeden Vektor $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ . Also muss $\begin{eqnarray} R^T R=E \end{eqnarray}$ sein, und daher $\begin{eqnarray} R^T = R^{-1} \end{eqnarray}$ . Daraus ergibt sich auch $\begin{eqnarray} \det(E)=\det(R^T R)=\det(R^T)\det(R)=\det(R)^2 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \det(R)^2=1 \end{eqnarray}$ . Demnach ist $\begin{eqnarray} \det(R)=\pm 1 \end{eqnarray}$ . Eine Matrix mit negativer Determinante ist aber nicht orientierungserhaltend. Daher muss $\begin{eqnarray} \det(R)=1 \end{eqnarray}$ sein. Man darf hier rückwärts argumentieren (der Koeffizientenvergleich in (1) und (2)) und erhält damit, dass die Bedingungen $\begin{eqnarray} R^T R=E \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \det(R)=1 \end{eqnarray}$ dafür hinreichend sind, die Standard-ONB mit $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ in eine gleich orientierte ONB zu überführen. Betrachten wir nun die Formel $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}. \end{eqnarray}$ Für eine Rotationsmatrix ergibt sich daraus $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & c\\ b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}. \end{eqnarray}$ Gemäß komponentenweisem Vergleich ist eine Rotationsmatrix also von der Form $\begin{eqnarray} R = \begin{pmatrix} a & -b\\ b & a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \det(R)=a^2+b^2=1 \end{eqnarray}$ . Man betrachte nun den Körperisomorphismus $\begin{eqnarray} \Phi\colon\mathbb C\to \Phi(\mathbb C),\quad \Phi(a+bi) = \begin{pmatrix} a & -b\\ b & a \end{pmatrix}. \end{eqnarray}$ Es gilt die eulersche Formel $\begin{eqnarray} re^{i\varphi}=r\cos\varphi+ir\sin\varphi \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} a^2+b^2=1 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} r=1 \end{eqnarray}$ und daher $\begin{eqnarray} a=\cos\varphi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b=\sin\varphi \end{eqnarray}$ . Somit muss eine Rotationsmatrix von der Form $\begin{eqnarray} R = \begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi\\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sein.

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