Integral im Mehrdimensionalen

30.05.2019, 16:54	AP0	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral im Mehrdimensionalen Hallo zusammen, ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich überhaupt nicht weiß, wie ich vorgehen soll: Berechnen Sie - sofern existent - den Wert von $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{1} \frac{xsin(xy)}{y(1+x^2)} \, dx \, dy \end{eqnarray}$ . Da mir das "innere" Integral schon recht komplex erscheint, würde ich vermuten dass der Wert des Integrals nicht existiert... Ich bin leider kompletter Anfänger was Integrale im Mehrdimensionalen angeht, darum hoffe ich auf eure Hilfe
30.05.2019, 17:47	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral im Mehrdimensionalen Ich hab das mal durchgerechnet und mein Ergebnis von WolframAlpha überprüfen lassen. Mit Erfolg. Daher gehe ich davon aus, dass mein Weg auch richtig war: Zunächst ist es zulässig, die Integrale dx und dy zu vertauschen. Dann kannst Du aus dem inneren dy-Integral was rausziehen. Damit kannst Du schon mal anfangen. Dann folgt ein kleiner Trick und der Rest ist ziemlich simpel. Nur den Wert des Integralsinus muß man sich noch anderweitig beschaffen.
30.05.2019, 19:17	AP0	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral im Mehrdimensionalen Dann erhalte ich als Zwischenergebnis $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! \frac{x}{1+x^2}\cdot Si(xy) \, dx \end{eqnarray}$ .. Allerdings habe ich jetzt zum ersten Mal von dem "Integralsinus" gehört, und habe dementsprechend keine Ahnung, wie ich weiterrechnen darf. Der Integralsinus ist ja wieder von x abhängig, oder? Außerdem bin ich mir nicht sicher, ob ich den hier verwenden darf, da wir wie gesagt noch nie dieses Thema behandelt haben
30.05.2019, 19:28	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral im Mehrdimensionalen Ich habe nun an dieser Stelle $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! \frac{x}{1+x^{2} } \int_{0}^{\infty } \! \frac{sin(xy)}{y} \, dy \, dx \end{eqnarray}$ ergänzt zu $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! \frac{x}{1+x^{2} } \int_{0}^{\infty } \! \frac{sin(xy)}{xy}x \, dy \, dx \end{eqnarray}$ und für das innere Integral die Substitution $\begin{eqnarray} t=xy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dy=\frac{dt}{x} \end{eqnarray}$ durchgeführt. Dann bleibt nur der Integralsinus in $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ohne x und das leichte dx-Integral übrig.
30.05.2019, 19:52	AP0	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral im Mehrdimensionalen Genau, das wollte ich auch machen und hab mich dabei wohl irgendwo verrechnet. Ist das Ergebnis dann $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\cdot Si(xy)\cdot log(2) \end{eqnarray}$ bzw. wenn ich mich nicht täusche $\begin{eqnarray} log(\sqrt{2})\cdot Si(xy) \end{eqnarray}$ ?
30.05.2019, 20:02	AP0	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral im Mehrdimensionalen Ah nein, ich sollte ja wie du gesagt hast noch den Wert des Integralsinus bestimmen. Und wie mache ich das jetzt am besten?
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30.05.2019, 20:10	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral im Mehrdimensionalen Der Wert von $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \int_{0}^{x} \! \frac{sin(t)}{t} \, dt \end{eqnarray}$ ist einer externen Quelle zu entnehmen. Die Gesamtlösung lautet (besser) $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{4}ln(2) \end{eqnarray}$ was mir bestätigt wurde. Natürlich müßte man sich an der einen oder anderen Stelle noch zusätzlich Gedanken machen, ob ein Schritt zulässig ist oder nicht.
30.05.2019, 21:12	AP0	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral im Mehrdimensionalen Ok, dann vielen Dank für deine Hilfe!

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