Lineare Abbildungen R2 nach R2

31.05.2019, 09:13	gast123_4	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildungen R2 nach R2 Hallo liebe Mathehelferlein, ich sitze an einer Aufgabe und habe Probleme diese korrekt zu lösen bzw. mathematisch zu formulieren. Könntet ihr mir dabei helfen? Für eure Hilfe schon vorab herzlichst gedankt. Es geht darum zu entscheiden, ob es in folgenden Fällen keine, eine oder mehrere lineare Abbildung von $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R^2} \end{eqnarray}$ gibt: (i) $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist nicht Injektiv und $\begin{eqnarray} f((1,0))=(2,0) \end{eqnarray}$ (ii) $\begin{eqnarray} f((x,0))=(x,1) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ Meine Idee: Für die Linearität gibt es ja zwei Eigenschaften abzuprüfen: $\begin{eqnarray} f(a+b)=f(a)+f(b) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} a,b \in V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(\lambda a)=\lambda * f(a) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \lambda \in K \end{eqnarray}$ zu (i): Niccht injektiv bedeutet, dass mehrere Elemente des "Definitionsbereiches" auf ein Element der Zielmenge abgebildet werden. Kann ich mir nun einfach z.B. das linear unabh. Element $\begin{eqnarray} f((0,1))=(2,0) \end{eqnarray}$ hernehmen und die Abbildungsmatrix zwischen diesen beiden bestimmen. Ich verstehe nicht, wie ich das sonst in obige Bedingungen einsetzen muss. Könntet ihr mir hier den Anstoß geben? Also klar ist definitiv intuitiv, dass mehrere lineare Abbildungen existieren. zu (ii): kann ich mir hier einen beliebigen Punkt der Ausgangsmenge wählen, z.B. $\begin{eqnarray} x=(0,0) \Rightarrow f((x,0))=f((0,0)=(0,0)=(x,1) \end{eqnarray*}$ . Mir wirds hier ein bisserl zu abstrakt, da keine explizite Zuordnungsvorschrift angegeben ist, mit der ich die obigen Bedingungen prüfen könnte. Habt ihr hier eine Idee? Viele Grüße gast 123 Edit(Helferlein): Eine Latexklammer zwecks besserer Lesbarkeit des folgenden Textes korrigiert.
31.05.2019, 10:35	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
(i) Satz 1: Eine lineare Abbildung ist eindeutig definiert, wenn man die Bilder einer Basis kennt. (ii) Satz 2: Eine lineare Abbildung bildet den Nullvektor auf den Nullvektor ab. Mit diesen beiden Sätzen, die dir aus der Vorlesung bekannt sein sollten, lassen sich die Fragen sehr leicht beantworten. (ii) hast du völlig vermurkst, insbesondere bildet eine lineare Abbildung nicht Punkte sondern Vektoren ab.
31.05.2019, 11:30	ast123_4	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, Also wäre (ii) einfach: $\begin{eqnarray} f((x,0))=(x,1) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x=0 \Rightarrow f((0,0))\neq (0,1) \end{eqnarray}$ Da die lineare Abbildung den Nullvektor nicht auf den Nullvektor abbildet, ist sie nicht linear. Doch wozu brauche ich dann hier die oben genannten Linearitätsbedingungen?
31.05.2019, 13:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man den Satz 2 nicht kennt, dann erfindet man ihn in der Aufgabe und schreibt $\begin{eqnarray} f((0,0))=f(0\cdot(0,0))=0\cdot f((0,0))=(0,0) \end{eqnarray}$ im Widerspruch zur Voraussetzung $\begin{eqnarray} f((0,0))=(0,1) \end{eqnarray}$ . Die Linearität, genauer die Homogenität, wird im 2. Gleichheitszeichen benutzt. Linearität = Additivität + Homogenität (das hast du ja schon gewußt).
31.05.2019, 16:06	gast123_4	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, an die Skalarmultiplikation hatte ich auch gedacht, wusste aber nicht wie ichs aufschreiben sollte. Vielen Dank Dafür. Jetzt noch kurz zu (i): Also ich wähle mir das Bild $\begin{eqnarray} f((0,1))=(2,0) \end{eqnarray}$ zusätzlich. Dann gilt doch $\begin{eqnarray} f((x,0)+f((y,0))=x(f((1,0))+y(f((0,1)))=x(2,0)+y(2,0)=(2x,0)+(2y,0)=(2x<br /> +2y,0) \end{eqnarray}$ Bestimmt steckt hier auch Optimierungspotential.
31.05.2019, 18:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Optimierungspotential ist geschmeichelt, aber zumindest ist der Ansatz möglich und richtig. Nach Voraussetzung ist $\begin{eqnarray} f((1,0))=(2,0) \end{eqnarray}$ . Wähle $\begin{eqnarray} f((0,1))=(2,0) \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ offensichtlich nicht injektiv. Setze $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ linear fort durch $\begin{eqnarray} f((x,y))=f(x\cdot (1,0)+y\cdot (0,1))=x\cdot f((1,0))+y\cdot f((0,1))=x\cdot (2,0)+y\cdot (2,0)=(2\cdot x+2\cdot y,0)=(2\cdot(x+y),0)=2\cdot (x+y,0) \end{eqnarray}$ . Die Voraussetzung der Linearität steckt wieder im 2. Gleichheitsszeichen. Genau so kann man für beliebiges $\begin{eqnarray} a\in\mathbb R\,\,f((0,1))=(a,0) \end{eqnarray}$ wählen und linear fortsetzen. Es gibt also nicht nur eine nicht injektive lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f((1,0))=(2,0) \end{eqnarray}$ sondern unendlich viele. Merke: Wenn die Bilder von Basisvektoren lnear abhängig sind, ist die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nicht injektiv.
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02.06.2019, 09:59	gast_123_4	Auf diesen Beitrag antworten »
@Elvis: danke schön. schon erstaunlich wie gut du das erklärt hast . top

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