Ebenengleichung umstellen von Parameter- zu Koordinatenform

31.05.2019, 09:45

May2

Ebenengleichung umstellen von Parameter- zu Koordinatenform

Meine Frage:
Hallo miteinander,

ich habe nur eine kleine Frage, auf die ich aber keine Antwort weiß.

Ich möchte eine Ebenenhleichung aus der Parameterform in die Koordinatenform bringen. Dabei tritt jedoch das Problem auf, dass aufgrund zu vieler Nullen das LGS nicht lösbar ist.

Meine Ideen:
Ich habe ein Modell zum Objekt meiner Aufgabe (Tripelspiegel)in GeoGebra erstellt, aus dem ich auch die Vektoren habe. Ich habe auch bereits versucht das Objekt etwas weiter nach vorne zu verschieben aber das ändert leider auch nichts.

Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar.

MFG
May

31.05.2019, 10:50

Huggy

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RE: Ebenengleichung umstellen von Parameter- zu Koordinatenform

Zitat:

Original von May2
Ich möchte eine Ebenenhleichung aus der Parameterform in die Koordinatenform bringen. Dabei tritt jedoch das Problem auf, dass aufgrund zu vieler Nullen das LGS nicht lösbar ist.

Eine Ebenengleichung lässt sich immer von der Parameterform in die Koordinatenform bringen und umgekehrt.

Die Ebenengleichung in Parameterform sei

$\begin{eqnarray*} \vec x=\vec x_0 +r \vec u +s \vec v \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} \vec x =(x_1,x_2,x_3) \quad \vec u =(u_1,u_2,u_3) \quad \vec v =(v_1,v_2,v_3) \end{eqnarray*}$

Damit das wirklich eine Ebenengleichung ist, darf keiner der beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec v \end{eqnarray*}$ der Nullvektor sein und die beiden Vektoren dürfen nicht linear abhängig sein. Es darf also nicht gelten $\begin{eqnarray*} \vec v = c \vec u \end{eqnarray*}$ mit irgendeiner reellen Zahl $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ .

Um die Ebenengleichung in Koordinatenform zu bringen, wird ein Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec n=(n_1,n_2,n_3) \end{eqnarray*}$ der Ebene benötigt. Einen solchen kann man über das Vektorprodukt bekommen:

$\begin{eqnarray*} \vec n = \vec u \times \vec v \end{eqnarray*}$

Alternativ kann man das lineare Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} \vec n \cdot \vec u=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec n \cdot \vec v=0 \end{eqnarray*}$

lösen. Dabei steht der Punkt $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ für das Skalarprodukt. Man hat 2 linear unabhängige Gleichungen für 3 Unbekannte und bekommt daher unendlich viele Lösungen, von denen man sich eine eine aussucht.

Die Ebenengleichung in Koordinatenform lautet dann

$\begin{eqnarray*} \vec n \cdot \vec x = \vec n \cdot \vec x_0 \end{eqnarray*}$

01.06.2019, 08:50

Leopold

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Man kann auch die Parameterdarstellung als lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten, den Parametern, auffassen. Durch Elimination der Parameter erhält man die Koordinatengleichung. Am besten ein Beispiel:

$\begin{align*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{matrix} x_1 = 4 - 3r + 2s \\ x_2 = 1 + 2r - 4s \\ x_3 = -1 + r + 5s \end{matrix} \end{align*}$

Nun addiert man das Doppelte der ersten Gleichung zum Dreifachen der zweiten und dann die erste Gleichung zum Dreifachen der dritten. Dadurch eliminiert man $\begin{align*} r \end{align*}$ . Man bekommt die beiden Gleichungen

$\begin{align*} \begin{matrix} 2x_1 + 3x_2 = 11 - 8s \\ x_1 + 3x_3 = 1 + 17s \end{matrix} \end{align*}$

Jetzt eliminiert man $\begin{align*} s \end{align*}$ . Dazu addiert man im letzten System das 17fache der ersten zum 8fachen der zweiten Gleichung:

$\begin{align*} 17 \cdot \left( 2x_1 + 3x_2 \right) + 8 \left( x_1 + 3x_3 \right) = 195 \end{align*}$

Und schon hat man die Koordinatenform. Nach Kürzen erhält man

$\begin{align*} 14x_1 + 17x_2 + 8x_3 = 65 \end{align*}$

Natürlich ist Huggys Vorschlag über das Vektorprodukt eleganter. Aber immerhin sieht man, daß es auch ohne geht.

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