Funktionen mehrerer Veränderlicher

31.05.2019, 17:34	SM!LE	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionen mehrerer Veränderlicher Guten Tag, ich sitze derzeit an ein paar Aufgabe wo ich an der ein oder anderen Stelle nicht so recht weiter weiß und würde mich über hilfreiche Tipps freuen. Aufgabe 1): Hier sollte eine Tangentialebene zu z=f(x,y)=xy im Punkt $\begin{eqnarray} ~P:\left(x_0,y_0\right) \end{eqnarray}$ sowie zwei lin. unabhängige Tangentialvektoren, welche die Tangentialebene aufspannen, berechnet werden. Meine Lösung: Ich habe zuerst die Tangentialebene berechnet: $\begin{eqnarray} ~E:~z=2+2\cdot(x-1)+y-2 \end{eqnarray}$ Das ganze dann in die Parameterdarstellung gebracht: $\begin{eqnarray} ~E:~\vec{x}=\left[\begin{array}{a} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right]+r\cdot\left[\begin{array}{a} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right]+s\cdot\left[\begin{array}{a}0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \vec{v}_0=\left[\begin{array}{a} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right]\\ \vec{v}_1=r\cdot\left[\begin{array}{a} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right]\\ \vec{v}_2=s\cdot\left[\begin{array}{a} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right] \end{eqnarray}$ Wäre $\begin{eqnarray} \vec{v}_0 \end{eqnarray}$ dann mein Stützvektor und kann ich die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{v}_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{v}_2 \end{eqnarray}$ als meine Tangentialvektoren nehmen, wenn ich deren lin. Unabhängigkeit nachweise? Aufgabe 2): Hier war die Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x,y)=\sqrt{x^2+\left(y-1\right)^2} \end{eqnarray}$ gegeben. Hierzu sollte bei a) angegeben werden, welche Fläche im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ beschrieben wird und man soll den Graphen von f skizzieren. Bei Aufgabenteil d) soll man die Richtung des maximalen Anstiegs und die Richtung des maximalen Abstiegs im Punkt $\begin{eqnarray} P:\left(3,5\right) \end{eqnarray}$ angeben. Meine Lösung: Bei Teilaufgabe a) hatte ich mir überlegt eine Wertetabelle zu erstellen und die Funktion dann manuell zu "plotten". Gäbe es da eine einfachere Möglichkeit auch im Bezug auf eine mögliche Prüfungssituation? Bei Teilaufgabe d) habe ich für die Richtung des maximalen Anstiegs: $\begin{eqnarray} \nabla(f) \end{eqnarray}$ nur bei dem maximalen Abstieg bin ich mir nicht sicher. Ich hatte mal was von einem Antigradienten gehört. Gibt es das und wenn ja ist das dann einfach: $\begin{eqnarray} -\nabla(f) \end{eqnarray}$ ? Aufgabe 3): Hier ging es um die Bestimmung lokaler Extrema von Funktionen mehrerer Veränderlicher. $\begin{eqnarray} f(x,y)=5x^2+2xy+2y^2-14x+8y \end{eqnarray}$ Meine Lösung: Ich habe als erstes $\begin{eqnarray} \nabla(f)=0 \end{eqnarray}$ gesetzt: $\begin{eqnarray} \nabla(f)=0~\Rightarrow~f_x:~10x+2y-14=0~(I)\\f_y:~2x+4y+8=0~(II) \end{eqnarray}$ Mittels Additionsverfahren $\begin{eqnarray} \left[2I-II\right] \end{eqnarray}$ kam ich dann auf: $\begin{eqnarray} 18x-20=0~\Rightarrow x=\frac{10}{9} \end{eqnarray}$ Wenn ich x jetzt wieder in (I) und (II) einsetze komme ich auf 2 verschiedene Werte für y. Bedeutet das, dass ich 2 Punkte mit den gleichen x- aber anderen y- und f(x,y)-Koordinaten habe? Vielen Dank im Voraus. Mit freundlichen Grüßen SM!LE
31.05.2019, 19:46	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Huhu SM!LE, nur kurz zu 3: $\begin{eqnarray} 2\cdot (-14)-8\neq-20 \end{eqnarray}$ Die anderen beiden Aufgaben habe ich mir noch nicht angesehen, da ich wenig Zeit habe.
31.05.2019, 20:37	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktionen mehrerer Veränderlicher Zu 1) Es geht offenbar um den Punkt P(1/2/2), das ist in der Einleitung nicht deutlich gesagt, sondern erschließt sich erst aus Deiner Rechnung. Die Tangentialebene ist das Taylorpolynom 1. Ordnung im Punkt P. So habe ich die Tangentialebene berechnet, sieht so aus, als hättest Du das auch getan. Damit erhalte ich die gleichen Spannvektoren wie Du. Dass diese lin. unabh. sind, ist offensichtlich. Also von meiner Seite Bestätigung Deines Ergebnisses. Zu 2) Hier kann man sich noch in Analogie zur Analysis in 1 Variablen ohne Plotter ein Bild machen: $\begin{eqnarray} f(x,y)=x^{2} +y^{2} \end{eqnarray}$ heißt, es geht an jeder Stelle (x/y) um das Quadrat des Abstandes von (x/y) zum Ursprung in z-Richtung nach oben. Das entspricht der Normalparabel in der Ebene, ist daher ein Rotationsparaboloid. $\begin{eqnarray} f(x,y)=\sqrt{x^{2} +y^{2} } \end{eqnarray}$ heißt, es geht an jeder Stelle (x/y) um genau den Abstand von (x/y) zum Ursprung in z-Richtung nach oben. Das entspricht der Funktion y = \|x\| in der Ebene, ist daher ein Kegel mit der Spitze im Ursprung. $\begin{eqnarray} f(x,y)=\sqrt{x^{2} +(y-1)^{2} } \end{eqnarray}$ heißt, der vorgenannte Kegel ist um eine Einheit in positiver y-Richtung verschoben. Hoffe, das hilft erstmal. Ich lasse die Aufgabe aber für andere Helfer offen, da ich auch anderweitig zeitlich gebunden bin ...
01.06.2019, 11:11	SM!LE	Auf diesen Beitrag antworten »
@Mathema: Vielen Dank Was ein schusseliger Fehler . Ich habe jetzt eine Extremstelle berechnet und mittels nur positiver EW nachgewiesen, dass es sich dabei um einen Tiefpunkt handelt. @klauss: Tut mir leid ich hatte vergessen den Punkt P zu definieren. In der Aufgabenstellung war P folgendermaßen definiert: $\begin{eqnarray} P:=\left(1,2\right) \end{eqnarray}$ die 3. Koordinate erhalte ich ja, wenn ich für x=1 und für y=2 in die Ausgangsfunktion einsetze. Vielen vielen Dank für die detaillierte Erläuterung zur beschriebenen Fläche im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ . Nochmals vielen Dank euch beiden

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