Kovarianz

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kova19 Auf diesen Beitrag antworten »
Kovarianz
Hallo

Seien X und Y stetige Zufallsvariablen mit gemeinsamer Verteilung f(x,y)=1 falls x,y in [0,1] liegen und sonst gilt f(x,y)=0

Zu bestimmen ist die Kovarianz von X und Y und ich bin so vorgegangen:

Da X,Y stetig, gilt und damit ebenso

Alternativ natürlich auch direkt für [0,1] mit a=0 und b=1 über die Formel für gleichverteilte Zufallsvariablen.

Damit ergibt sich dann

Da X und Y wegen unabhängig sind, gilt somit

Ist das so in Ordnung ?

Habe ich das richtig verstanden, dass man hier das Glück hat, dass f(x,y)=1 gilt und die Unabhängigkeit für f(x,y)=c mit verloren gehen würde, wodurch man E(XY) nicht so einfach bestimmen könnte ?
kova19 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe gerade es gibt da ja noch einen Verschiebungssatz für die Kovarianz, wodurch dann auch direkt Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = E(XY) - 1/4 gilt.

Angenommen ich wüsste noch nicht, ob X und Y unabhängig sind.
Für den Fall habe ich bei wiki den Zusammenhang E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y) gefunden.
Nur damit drehe ich mich ja im Kreis.

Geht es dann vielleicht über ein Doppelintegral zur Bestimmung von E(XY) :



Vom Ergebnis her passt es, aber ich habe es mir eher zusammengereimt, da ich nicht weiß, wie man Erwartungswerte per Integration bestimmt, wenn 2 Variablen im Spiel sind...


Achja und noch eine Frage:

Bevor ich E(X) bzw. E(Y) berechne, sollte ich da zunächst erstmal sauber die Randverteilungen fx und fy durch angeben oder ist das hier so offensichtlich, dass man sich das sparen kann ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kova19
Geht es dann vielleicht über ein Doppelintegral zur Bestimmung von E(XY) :



Vom Ergebnis her passt es, aber ich habe es mir eher zusammengereimt, da ich nicht weiß, wie man Erwartungswerte per Integration bestimmt, wenn 2 Variablen im Spiel sind...

Das hast du dir korrekt zusammengereimt. Bei bivariaten Zufallsvariablen gilt analog zu einfachen Zufallsvariablen

kova19 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank.

Würdest du den Weg über das saubere Bestimmen der Randverteilungen und empfehlen oder direkt mit E(X) und E(Y) loslegen ?

Gibt es sonst noch Ungenauigkeiten oder Fehler ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Beides ist in Ordnung. Der Weg über



erscheint mir aber kürzer.
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