Häufungspunkte zweier Folgen

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Häufungspunkte zweier Folgen
Meine Frage:
Es seien , eine Folge und eine Nullfolge. Zeigen Sie:

Häufungspunkt von Häufungspunkt von .

Meine Ideen:
Hallo,

mein Versuch:

Für ""

Sei Häufungspunkt von . Wir wissen, dass eine Nullfolge ist, daher . Die ist das neutrale Element bzgl. der Addition, deswegen ist ein Häufungspunkt von . Wie geht das für die Rück-Richtung?
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RE: Häufungspunkte zweier Folgen
Benutze
Universaldilletant Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Häufungspunkte zweier Folgen
Hallo, vielen Dank. Kannst du das evtl. weiter ausführen? Liebe Grüße
Universaldilletant Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Häufungspunkte zweier Folgen
Hallo, vielen Dank. Kannst du das evtl. weiter ausführen? Liebe Grüße
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RE: Häufungspunkte zweier Folgen
hat Häufungswert , also gibt's eine konvergente Teilfolge....
und ist Nullfolge. Viel mehr gibt es da nicht zu tun
Universaldilletant Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Häufungspunkte zweier Folgen
Ja, aber wie würde man das formal aufschreiben? LG
 
 
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RE: Häufungspunkte zweier Folgen
Hm, wie würdest du es denn aufschreiben?
Universaldilletant Auf diesen Beitrag antworten »

Sei z ein Häufungspunkt von . Da und ist, haben wir
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So gehts nicht, weil dein Beweis von der Konvergenz von ausgeht. Die Konvergenz ist aber nicht gegeben. Deine letzte Gleichung sagt , was offensichtlich im allgemeinen falsch ist.
Richtig wäre folgender Weg
hat Häufungswert , also gibt's eine konvergente Teilfolge .
Jetzt begründe, warum
Universaldilletant Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, dass gegen konvergiert ist nach Voraussetzung so. Außerdem wissen wir, dass gegen 0 konvergiert. Gilt das dann auch für die Teilfolgen?
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Jede Teilfolge einer konvergenten Folge konvergiert und zwar gegen den gleichen Grenzwert.
Kleine Übung, das zu zeigen.
Universaldilletant Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe gerade, dass ich das schon habe. Also nochmal:

Sei ein Häufungspunkt von . Daher gibt es eine konvergente Teilfolge . Es gilt nun , da jede Teilfolge einer konvergenten Folge - hier - auch gegen den gleichen Grenzwert konvergiert und nach Voraussetzung gegen konvergiert und somit auch jede Teilfolge.

So in der Art...
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Zitat:
Original von Universaldilletant
Sei ein Häufungspunkt von . Daher gibt es eine konvergente Teilfolge . Es gilt nun ,

Das Gleichheitszeichen über der Klammer ist falsch, weil Gleichheit im allgemeinen nur im Grenzfall gilt. Schreib besser statt =

Zitat:
Original von Universaldilletant
und nach Voraussetzung gegen konvergiert und somit auch jede Teilfolge.

Das ist aber doch falsch, weil diese Konvergenz nicht vorausgesetzt wird. Man weiß nur, dass es einen Häufungswert gibt, von einem Grenzwert ist nicht die Rede. Deswegen muss man ja den Umweg über die Teilfolge machen.Lies nochmal die Begriffe nach
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