Affiner Unterraum Beweise

01.06.2019, 15:16	[email protected]	Auf diesen Beitrag antworten »
Affiner Unterraum Beweise Meine Frage: Es sei k ein Körper, V ein k-Vektorraum und X Teilmenge von V ein affiner Teilraum. Zeigen Sie: (i) Die Menge W := { v - u \| v, u Elemente von X } ist ein Untervektorraum von V. (ii) Für jedes v Element von X gilt: X = v + W. Meine Ideen: mir fällt nichts ein
01.06.2019, 15:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man beweisen möchte, dass eine Teilmenge eines Vektorraums ein UVR ist, fällt einem sofort das UVR-Kriterium ein. Das ist viel mehr als nichts, das ist alles, was man braucht.
01.06.2019, 15:38	[email protected]	Auf diesen Beitrag antworten »
danke schöne dass sie sich gemeldet haben. genauso möchte ich vorgehen bei dem beweis. ich habe erst zwei Vektoren aus W definiert und wollte dann die UVR-Kriterien anwenden aber irgendwie komme ich bei der Anwendung nicht weiter :/
01.06.2019, 17:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Aufgabe Teil (ii) sieht sinnvoll aus. Vielleicht musst du zuerst die Definition affiner Räume nachlesen, (ii) beweisen und dann (i) anpacken. Nachtrag: Im Moment blicke ich auch nicht durch.
02.06.2019, 08:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
u, v, w, x in X, dann ist u-v, w-x in W. Zu zeigen u-v+w-x=(u+w) - (v+x) in W. 1/2(u+w), 1/2(v+x) sind in X. Da fehlt mir noch ein kleiner Trick. Nachtrag : Wenn man jetzt zeigt, dass mit x in W auch a*x in W liegt, ist man fertig. Nachtrag : Für diesen letzten Nachweis benutzt man die Definition des affinen Raums X. Dazu gehört ein Vektorraum W, dessen Elemente die Verbindungsvektoren der Punkte aus X sind, und das sind gerade die Differenzen x-y für x, y in X. Nachtrag : Restproblem. Was ist mit Körpern der Charakteritik 2, wenn man also wegen 2=0 nicht durch 2 teilen kann, dann kann man nicht mit a=1/2 argumentieren.
02.06.2019, 09:41	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Definition von affinen Raum wird denn benutzt? Wenn man $\begin{eqnarray} V \supset X \text{ affiner Raum } \iff \text{ Es gibt Unterraum } U \subset V \text{ und } x_0 \in V \text{ mit } X = x_0 + U \end{eqnarray}$ nimmt, so folgt es sofort.
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02.06.2019, 09:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau. Die Definition muss anders sein, sonst wäre die Aufgabe nicht sinnvoll. Ich habe nur ein paar Anregungen gegeben, seine Definition muß der Fragesteller zum Ausgangspunkt seines Beweises machen.
02.06.2019, 10:00	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich finde die Aufgabe auch mit der Definition sinnvoll. So gibt es eine explizite Charakterisierung des Unterraums $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ , welcher in der Definition nur abstrakt auftaucht. Aber natürlich kann es auch eine ganz andere Definition sein. Ebenso existiert nicht nur ein $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ , sondern alle Elemente von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ sind zulässig.

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