Affiner Unterraum Beweise

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Affiner Unterraum Beweise
Meine Frage:

Es sei k ein Körper, V ein k-Vektorraum und X Teilmenge von V ein affiner Teilraum.

Zeigen Sie:

(i) Die Menge W := { v - u | v, u Elemente von X } ist ein Untervektorraum von V.

(ii) Für jedes v Element von X gilt: X = v + W.

Meine Ideen:
mir fällt nichts ein
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man beweisen möchte, dass eine Teilmenge eines Vektorraums ein UVR ist, fällt einem sofort das UVR-Kriterium ein. Das ist viel mehr als nichts, das ist alles, was man braucht.
 
 
[email protected] Auf diesen Beitrag antworten »

danke schöne dass sie sich gemeldet haben. genauso möchte ich vorgehen bei dem beweis.

ich habe erst zwei Vektoren aus W definiert und wollte dann die UVR-Kriterien anwenden aber irgendwie komme ich bei der Anwendung nicht weiter :/
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der Aufgabe Teil (ii) sieht sinnvoll aus. Vielleicht musst du zuerst die Definition affiner Räume nachlesen, (ii) beweisen und dann (i) anpacken.
Nachtrag: Im Moment blicke ich auch nicht durch. verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

u, v, w, x in X, dann ist u-v, w-x in W. Zu zeigen u-v+w-x=(u+w) - (v+x) in W. 1/2(u+w), 1/2(v+x) sind in X. Da fehlt mir noch ein kleiner Trick.

Nachtrag : Wenn man jetzt zeigt, dass mit x in W auch a*x in W liegt, ist man fertig.

Nachtrag : Für diesen letzten Nachweis benutzt man die Definition des affinen Raums X. Dazu gehört ein Vektorraum W, dessen Elemente die Verbindungsvektoren der Punkte aus X sind, und das sind gerade die Differenzen x-y für x, y in X.

Nachtrag : Restproblem. Was ist mit Körpern der Charakteritik 2, wenn man also wegen 2=0 nicht durch 2 teilen kann, dann kann man nicht mit a=1/2 argumentieren.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Definition von affinen Raum wird denn benutzt? Wenn man nimmt, so folgt es sofort.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau. Die Definition muss anders sein, sonst wäre die Aufgabe nicht sinnvoll. Ich habe nur ein paar Anregungen gegeben, seine Definition muß der Fragesteller zum Ausgangspunkt seines Beweises machen.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde die Aufgabe auch mit der Definition sinnvoll. So gibt es eine explizite Charakterisierung des Unterraums , welcher in der Definition nur abstrakt auftaucht. Aber natürlich kann es auch eine ganz andere Definition sein. Ebenso existiert nicht nur ein , sondern alle Elemente von sind zulässig.
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