Korrelationskoeffizient

01.06.2019, 15:28

koko19

Korrelationskoeffizient

Hallo

Gegeben seien die diskreten Zufallsvariablen X und Y mit gemeinsamer Wahrscheinlichkeitsfunktion p(x,y)=1/3 falls $\begin{eqnarray*} (x,y) \in \left\{ (-1,1),(0,-2),(1,1)\right\} \end{eqnarray*}$ und sonst p(x,y)=0

Nun soll der entsprechende Korrelationskoeffizient $\begin{eqnarray*} r_{X,Y} \end{eqnarray*}$ bestimmt werden. Meine Vorgehensweise ist wie folgt.

Mit den obigen Werten gilt schon mal $\begin{eqnarray*} \bar{x}=\bar{y}=0 \end{eqnarray*}$ und damit dann $\begin{eqnarray*} r_{X,Y}=\frac{(-1) \cdot 1 + 0 \cdot (-2) + 1 \cdot 1}{...}=0 \end{eqnarray*}$

Die Summe der Abweichungsquadrate im Nenner kann ich mir doch eigentlich sparen, da im Zähler eh Null rauskommt, oder ?

Nun soll auch noch begründet entschieden werden, ob X und Y unabhängig sind.

Da würde ich sagen, dass X und Y abhängig sind, allein schon wegen $\begin{eqnarray*} p_{x_1} \cdot p_{y_1}=-1 \cdot 1 = -1 \neq \frac{1}{3}=p(x,y) \end{eqnarray*}$

Passt das so ?

Korrektur bzgl. der Begründung zur Abhängigkeit von X und Y :

px(1)=px(0)=px(-1)=1/3

py(1)=2/3 und py(-2)=1/3

X und Y sind abhängig, da z.B. $\begin{eqnarray*} p_X(1) \cdot p_Y(1) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{9} \neq \frac{1}{3}=p_{X,Y}(1,1) \end{eqnarray*}$

Passt das nun soweit ?

Mir ist noch aufgefallen, dass ich die Formel für den empirischen Korrelationskoeffizienten genommen habe.

Geht das auch oder sollte ich eher mit $\begin{eqnarray*} r_{X,Y}=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y}=\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma_X^2=E(X^2)-(E(X))^2 \end{eqnarray*}$ so wie den entsprechenden Randverteilungen arbeiten ?

Vier Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen

03.06.2019, 14:38

Huggy

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RE: Korrelationskoeffizient

Zitat:

Original von koko19
Korrektur bzgl. der Begründung zur Abhängigkeit von X und Y :

px(1)=px(0)=px(-1)=1/3

py(1)=2/3 und py(-2)=1/3

X und Y sind abhängig, da z.B. $\begin{eqnarray*} p_X(1) \cdot p_Y(1) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{9} \neq \frac{1}{3}=p_{X,Y}(1,1) \end{eqnarray*}$

Jetzt passt es.

Zitat:

Mir ist noch aufgefallen, dass ich die Formel für den empirischen Korrelationskoeffizienten genommen habe.Geht das auch oder sollte ich eher mit $\begin{eqnarray*} r_{X,Y}=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y}=\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma_X^2=E(X^2)-(E(X))^2 \end{eqnarray*}$ so wie den entsprechenden Randverteilungen arbeiten ?

Nur so solltest du rechnen!
Der empirische Korrelationskoeffizient beruht ja auf einer Stichprobe. Hier ist aber nach dem Korrelationskoeffizienten aus den Verteilungen gefragt. Du hast oben eine Stichprobe vom Umfang n=3 gewählt, in der jedes mögliche Ergebnis genau einmal vorkam. Die Stichprobe war dadurch "repräsentativ" für die Verteilung. Bei diskreten Zufallsgrößen mit endlicher Ergebnismenge kann man sich zwar immer solche "repräsentative" Stichproben basteln, aber es ist besser und richtig, mit der Definition für Verteilungen zu arbeiten.

03.06.2019, 16:04

koko19

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Besten Dank. Freude

Also würde ich zunächst mal alle relevanten Verteilungen (X , Y , XY , X² und Y²) und die entsprechenden Erwartungswerte bestimmen.

px(1)=px(0)=px(-1)=1/3 --------> E(X)=0

py(1)=2/3 und py(-2)=1/3 ---------> E(Y)=0

pxy(-1)=pxy(0)=pxy(1)=1/3 ---------> E(XY)=0

px²(0)=1/3 und px²(1)=2/3 ----------> E(X²)=2/3

py²(1)=2/3 und py²(4)=1/3 ----------> E(Y²)=2

$\begin{eqnarray*} r_{X,Y}=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y}=\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y}=\frac{0-0 \cdot 0}{\sqrt{(\frac{2}{3}-0²) \cdot(2-0²)}}=0 \end{eqnarray*}$

Kommt das so hin und ist das von der Vorgehensweise richtig ?

03.06.2019, 16:11

Huggy

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Alles korrekt.

03.06.2019, 16:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von Huggy
Nur so solltest du rechnen!
Der empirische Korrelationskoeffizient beruht ja auf einer Stichprobe. Hier ist aber nach dem Korrelationskoeffizienten aus den Verteilungen gefragt. Du hast oben eine Stichprobe vom Umfang n=3 gewählt, in der jedes mögliche Ergebnis genau einmal vorkam. Die Stichprobe war dadurch "repräsentativ" für die Verteilung. Bei diskreten Zufallsgrößen mit endlicher Ergebnismenge kann man sich zwar immer solche "repräsentative" Stichproben basteln, aber es ist besser und richtig, mit der Definition für Verteilungen zu arbeiten.

Noch eine Anmerkung dazu: Rechnet man auf diese Weise mit einer repräsentativen Stichprobe, d.h. dann mit empirischer Kovarianz im Zähler und empirischen Standardabweichungen im Nenner, dann macht man in beiden einen Vorfaktorfehler: Bei der Verteilungsvarianz bzw. -kovarianz steht Vorfaktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , bei den empirischen Gegenstücken aber $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n-1} \end{eqnarray*}$ . Glücklicherweise heben sich im vorliegenden Fall durch die Quotientenbildung die Fehler gegenseitig auf, so dass der solchermaßen berechnete empirische Korrelationskoeffizient dem Korrelationskoeffizienten der Zufallsgrößen entspricht - Glück gehabt!

Bei der reinen Varianz- bzw. Standardabweichungsberechnung hättest du dieses Glück dann aber nicht gehabt. Also: Finger weg, und rechne mit den "echten" Formeln für Zufallsgrößen.

03.06.2019, 20:00

koko19

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Ich danke euch vielmals. Tanzen

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