Verallgemeinerte Inverse

01.06.2019, 17:17

Msqw

Verallgemeinerte Inverse

Meine Frage:
Hallo alle zusammen ich soll die Verallgemeinerte Inverse von der Verteilungsfunktion (siehe Bild) skizzieren.
Meine Frage: Welche Punkte gehören dann dazu und welche nicht ? Also wo muss ich eine Definitionslücke skizzieren?

Meine Ideen:
Also Skizzieren geht eigentlich ganz einfach in der x-Achse habe ich die Zahlen von 0-1. Besondere Werte sind
0,96, 0,97, 0,99 und 1.
In der y-Achse habe ich die Zahlen von 0 -160

Besondere Werte hier sind: 50, 100 und 150.

Wo kommt ne Lücke?

02.06.2019, 22:37

Mqsw

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RE: Verallgemeinerte Inverse
Jemand da ?

03.06.2019, 11:22

HAL 9000

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Arbeite doch streng nach Definition - ich nehme an, deine ist äquivalent zu der hier ? Falls nicht, dann nenne bitte deine.

Optisch beschrieben im $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Koordinatensytem spiegelst du den Graph von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ an der Winkelhalbierenden $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$ und nimmst dann folgende Korrekturen vor:

a) Sämtliche "vertikalen" Strecken im Graph werden entfernt, nur der unterste Punkt bleibt übrig. Im vorliegenden Beispiel betrifft das Wert 0.96: Da ist dann $\begin{eqnarray*} F^{-1}(0.96)=10 \end{eqnarray*}$ und zugleich als rechtsseitiger Grenzwert an der Stelle $\begin{eqnarray*} F^{-1}(0.96+0)=50 \end{eqnarray*}$ . (Die Vertikalen bei 0 und 1 interessieren nicht, die gehören beide nicht mehr zum Definitionsbereich (0,1) dieser verallgemeinerten Inversen).

b) Sämtliche Lücken im Graph (d.h. x-Werte mit fehlenden Funktionswerten) werden durch horizontale Strecken geschlossen, die ausgehend vom rechten (bereits existenten) Endpunkt nach links gezogen werden. Im vorliegenden Beispiel heißt das $\begin{eqnarray*} F^{-1}(x) = 10 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 0<x\leq 0.96 \end{eqnarray*}$ sowie auch $\begin{eqnarray*} F^{-1}(x) = 100 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 0.97<x\leq 0.99 \end{eqnarray*}$ .

c) Für die restlichen noch übrig gebliebenen Intervalle bilde die "normale" Umkehrfunktion.

Das führt letztlich zu einer linksstetigen Funktion (im Gegensatz zur Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ , welche rechtsstetig ist).

04.06.2019, 02:14

Mqsw

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Hey HAL

Danke für die Antwort. Wenn ich streng nach der Definition gehe ist doch F^(-1)(0,97)=100 verwirrt

04.06.2019, 08:11

HAL 9000

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Ja, auch das. Ich hab nur deswegen in

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} F^{-1}(x) = 100 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 0.97<x\leq 0.99 \end{eqnarray*}$ .

den linken Randpunkt ausgeklammert, weil aufgrund der genannten Regel nicht automatisch $\begin{eqnarray*} F^{-1}(0.97) = 100 \end{eqnarray*}$ gilt, sondern das folgt hier aus anderen Gründen!

Und wenn beispielsweise die "Rampe" von 50 bis 100 im obigen Graph nicht bestehen würde, sondern stattdessen eine Horizontale von 50 bis 100 auf Niveau 0.97, dann wäre abweichend $\begin{eqnarray*} F^{-1}(0.97) = 50 \end{eqnarray*}$ gewesen.

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