Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe

01.06.2019, 18:33	Chaotica	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe Hallo zusammen, Nachdem ich zuletzt eigentlich ganz gut mit der gleichmäßigen Konvergenz von Funktionenfolgen zurechtkam (mMn), scheitere ich nun leider an den Funktionenreihen. Schon gleich die erste Aufgabe bereitet mir seit Wochen Kopfschmerzen: Zeige, dass $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n \cdot (1+nx^2)} \end{eqnarray}$ auf ganz R gleichmäßig konvergiert. 1) Wie bei den Funktionenfolgen habe ich auch hier zunächst versucht, die Grenzfunktion herauszufinden, um im Anschluss die Definition der gleichmäßigen Konvergenz $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \stackrel {sup}{x \in D} \| f_n (x) - (fx) \| = 0 \end{eqnarray}$ anzuwenden. Allerdings bin ich daran gescheitert. Erst glaubte ich, eine Ähnlichkeit zur Teleskopsumme $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot (1+n)} \end{eqnarray}$ zu sehen, doch das brachte mich nicht weiter. Denn aufgrund des $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ im Nenner lösen sich hier nicht fast alle Terme in Wohlgefallen auf. 2) Mein letzter Ansatz war, die Grenzfunktion nach oben hin abzuschätzen mit $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray}$ . Danach weiter laut Definition, ergab: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \stackrel {sup}{x \in D} \| \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n \cdot (1+nx^2)} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \| \\ = \lim_{n \to \infty} \stackrel {sup}{x \in D} \| \sum_{n=1}^{\infty} \frac{xn-1-nx^2}{n^2 \cdot (1+nx^2)} \| \end{eqnarray}$ 3) Als nächstes habe ich versucht, das Supremum zu finden, indem ich das Ganze nur als Folge abgeleitet und nach x hin aufgelöst habe. Das Ergebnis $\begin{eqnarray} - \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray}$ habe ich wiederum oben eingesetzt, und WolframAlpha die Reihe damit approximieren lassen. Es ergibt sich ein Wert von ca. -0,34 . Das ist nun wenigstens nahe Null. Nicht genau gleich, aber ich hatte die Grenzfunktion ja auch nicht genau erfassen können. In meinem Kopf herrscht mittlerweile ziemliches Chaos. Was meint ihr denn dazu? Bin ich auf dem richtigen Weg oder habe ich mich völlig verirrt? P.S.: Entschuldigt bitte, dass meine Formeln noch nicht sehr schön aussehen, insbesondere der Teil mit dem Supremum. Ist mein erstes Mal sowohl hier im Forum als auch mit LaTeX. Bin gerne bereit, nachzubessern, wenn ich weiß, wie.
01.06.2019, 18:55	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe Mit 3) kann man schon was anfangen: Setze $\begin{eqnarray} f_n(x)=\frac{x}{n(1+nx^2)} \end{eqnarray}$ , bestimme ihren betragsmäßg größten Wert (das geht hier per Ableitung und Symmetriebetrachtung). Das liefert $\begin{eqnarray} \|f_n(x)\|\leq \frac{1}{2n^{3/2}} \end{eqnarray}$ und damit eine konvergente Majorante. Über den Wert der Reihe weiß man damit noch nichts, aber die gleichmäßige Konvergenz ist gezeigt.
01.06.2019, 20:13	Chaotica	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe Hm, vielleicht habe ich ja immer noch etwas Grundlegendes bzgl. der gleichmäßigen Konvergenz nicht verstanden. Jedenfalls verstehe ich leider nicht, inwiefern deine Lösung die gleichmäßige Konvergenz der Reihe beweist. Gehst du dabei irgendeinen - mir dann offenbar noch unbekannten - Weg, für den man die Grenzfunktion nicht benötigt? Die einzelnen Schritte für sich kann ich soweit nachvollziehen. Auch dass $\begin{eqnarray} \|f_{n}(x)\| \leq \frac{1}{2n^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray}$ eine Nullfolge ist und somit konvergiert - auch als Reihe, da der Exponent größer 1 ist. Aber mir ist leider nicht klar, warum du das so machst und wie du daraus auf die gleichmäßige Konvergenz der zugehörigen Reihe schließt.
01.06.2019, 20:32	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe Ich verwende das Weierstrass Majorantenkriterium. Es hat eben den Charme, dass man die Grenzfunktion nicht kennen muss - was man im allgemeinen auch nicht tut.
01.06.2019, 23:09	Chaotica	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe Das kommt davon, wenn man aus bestimmten Gründen überzeugt ist, man müsse diese Aufgabe über die Definition der gleichmäßigen Konvergenz lösen. Das Weierstrass'sche Majorantenkriterium ist mir bei meinen Recherchen der letzten Wochen sogar irgendwo auf einer englischsprachigen Website über den Weg gelaufen. Ich erinnere mich, dass ich mir nicht sicher war, ob es mir weiterhilft, da ich Verständnisschwierigkeiten hatte - zumal auch dort keine Herleitung / kein Beweis dabei war. Und ich, wie gesagt, dachte, ich müsse anders vorgehen. Also vielen, vielen Dank, dass du mich davor bewahrt hast, weitere Wochen damit zu verschwenden, eine Grenzfunktion ermitteln zu wollen... ...und dass du deinem Nickname alle Ehre gemacht hast! Auf der deutschen Wikipedia-Seite ist das Kriterium für mich doch deutlich verständlicher dargestellt. Zwar ohne Beweis, aber ich habe kurz nachgesehen; es gibt einen im englischen Wikipedia-Eintrag. Den werde ich mir dann morgen in Ruhe anschauen. (Ich wende so ungern Regeln an, ohne zu verstehen, weshalb sie gelten. ) Aber vor allem werde ich mich gleich morgen mit neuem Mut an die Lösung der restlichen Aufgaben setzen! Also noch einmal vielen Dank für deine schnelle und kompetente Hilfe!
02.06.2019, 09:14	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe Gern geschehen. Melde dich einfach , falls bei den restlichen Aufgaben Fragen auftauchen. Am besten in einem neuen Thread
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