Substitution bestimmter Integraltypen

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01.06.2019, 18:36	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Substitution bestimmter Integraltypen Meine Frage: $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! -\frac{\sqrt{3 \cdot t + 2} \cdot ({t}^{2} + 2)}{t} \, dt = \int_{A}^{B} \! f(y)\, dy \end{eqnarray}$ Frage: Ich habe den Term mit der Wurzel substituiert. Jedoch komme ich nicht auf die Lösung von: $\begin{eqnarray} f(y) = -\frac{2 \cdot {y}^{6} - 8 \cdot {y}^{4} + 44 \cdot {y}^{2}}{9 \cdot {y}^{2} - 18} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Als erstes habe ich den Teil mit der Wurzel substituiert. Anschließend habe ich den nach t umgeformt für die Grenzen. Da komme ich auf $\begin{eqnarray} \frac{{y}^{2} - 2}{3} = t \end{eqnarray}$ Dann habe ich das ganze abgeleitet und nach dt umgeformt. Also $\begin{eqnarray} dt = \frac{1}{2 \cdot y} \end{eqnarray}$ Das alles für mit t und dt ersetzt komme ich dann auf: $\begin{eqnarray} -\frac{y \cdot {(\frac{{y}^{2}}{3})}^{2}+2}{\frac{{y}^{2}-2}{3}} \cdot \frac{1}{2 \cdot y} \end{eqnarray}$
01.06.2019, 18:42	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
In dem Bruch vom Zähler sollte $\begin{eqnarray} {(\frac{y^2 - 2}{3})}^{2} \end{eqnarray}$ stehen.
01.06.2019, 18:47	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Substitution bestimmter Integraltypen Wie kommst du auf das dt? Eine Klammer fehlt dann aber auch noch im (korrigierten) Zähler.
01.06.2019, 19:03	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil die Stammfunktion am Anfang von t abhängig ist vielleicht ? Erst nach der Substitution sollte da dann dy stehen. Also beim ableiten sollte dann da stehen. Das habe ich vielleicht vergessen. $\begin{eqnarray} dt = \frac{1}{2 \cdot y} dy \end{eqnarray}$ . Sonst sehe ich erstmal keinen Fehler. Also ich soll ja jedes t in ein y und das dt mit einem dy ersetzen. und wenn meine Substitutionsvariable $\begin{eqnarray} y = \sqrt{3 \cdot t + 2} \end{eqnarray}$ ist und das nach t umforme, komme ich dann auf $\begin{eqnarray} \frac{{y}^{2} - 2}{3} = t \end{eqnarray}$ Das sieht ja auch soweit richtig aus. Dann muss ich nur noch das dt ersetzen und das habe ich wie folgt gemacht $\begin{eqnarray} \frac{dt}{dy}= \sqrt{3 \cdot t + 2} => dt = \frac{1}{2 \sqrt{3 \cdot t + 2}} dy = \frac{1}{2 \cdot y} dy \end{eqnarray}$ Jetzt weiss ich halt nicht wo der Fehler ist. Ansonsten ist der Bruch ja auch soweit richtig bis auf die eine Stelle im Zähler
01.06.2019, 19:05	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht mache ich das ja auch ganz Falsch. Wie würdest du das denn machen ?
01.06.2019, 19:06	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} y = \sqrt{3 \cdot t + 2} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dt}=\frac{3}{2y} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} dt=\frac{2y}{3}dy \end{eqnarray}$
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01.06.2019, 19:46	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok das habe ich jetzt verstanden. Danke Nun weiss ich in der Folgenden Aufgabe nicht wie man da erstens auf die Substitution kommt und wie man da vorgeht. Aufgabe: $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} = \frac{{t}^{2} \cdot \sqrt{{t}^{2} + 1} + 3}{3 \cdot {t}^{3} - 3 \cdot {t}^{2} + 3 \cdot t - 3} dt \end{eqnarray}$ Hier das selbe wie in der Aufgabe davor. Alles soll einmal mit y ersetzt werden. Hier ist als Lösung der arsinh(t) verwendet worden. Wie kommt man denn darauf ?
01.06.2019, 19:48	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Substitution ist mittels arsinh y = arsinh(t) ?! Warum üb
01.06.2019, 20:22	Gast006	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach ne sorry das war für die Grenzen, wenn man y nach t umformt.
01.06.2019, 20:42	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Bist du dir sicher, das Integral richtig aufgeschrieben zu haben? Den Nenner kann man handlicher als $\begin{eqnarray} 3(t^2+1)(t-1) \end{eqnarray}$ schreiben, aber ich sehe da keine brauchbare Substitution. Den zweiten Summanden (+3) kann man mit PBZ erlegen. Wolframalpha liefert eine Stammfunktion, aber schön ist anders.

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