Hom-Raum und Lineare Abbildung

02.06.2019, 11:27	calvin_365	Auf diesen Beitrag antworten »
Hom-Raum und Lineare Abbildung Einen wunderschönen guten Morgen liebe fleißige Helfer, ich sitze vor einer interessanten und vermutlich auch einfachen Aufgabe, bei der ich allerdings kleine Anlaufschwierigkeiten habe. Vielleicht könntet ihr mir trotz wohlig warmem Wetter ein paar Tipps geben, mit denen ich dann weiterdenken kann. Die Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} U \subset K^n \end{eqnarray}$ ein Untervektorraum. Zeigen Sie , dass es eine Matrix $\begin{eqnarray} A \in Mat_{mxn}(K) \end{eqnarray}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray} ker(A)=U \end{eqnarray}$ ist. Vorüberlegungen / Definitionen verdeutlichen: Die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} Hom(K^n,K^m) = Mat_{nxm}(K) \end{eqnarray}$ ist ein Isomorphismus zwischen Matrizen- und Vektorraum. Diese Abbildung ist ein bijektiver Homomorphismus. Elemente des Matrizenraumes sind die Matrizen $\begin{eqnarray} A=(\alpha _{ij})_{1\leq i\leq m;<br /> 1\leq j \leq n} \in Mat_{nxm}(K) \end{eqnarray}$ , wobei die Koeeffizienten $\begin{eqnarray} \alpha_{ij} \end{eqnarray}$ die Abbildungsfaktoren zwischen den beiden Vektorräumen $\begin{eqnarray} K^n,K^m \end{eqnarray}$ bzgl. der Basen $\begin{eqnarray} a_1,...,a_n \in K^n , b_1,...,b_m \in K^m \end{eqnarray}$ umfasst. Die Bedingung $\begin{eqnarray} ker(A)=U \end{eqnarray}$ impliziert, dass der Kern der Matrix A ein Untervektorraum ist und per Definition den Nullvektor enthält sowie $\begin{eqnarray} Ax=0 \end{eqnarray}$ gilt. Nun gilt weiterhin $\begin{eqnarray} U \subset K^n \end{eqnarray}$ . Bedeutet dies, dass $\begin{eqnarray} U \rightarrow K^m \end{eqnarray}$ entwickelt werden muss? Zu zeigen sind aus meiner Sicht zwei Implikationen: $\begin{eqnarray} \Rightarrow: ker(A)=U \Rightarrow \exists! A \in Mat_{mxn} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Leftarrow: A \in Mat_{mxn} \Rightarrow kern(A)=U \end{eqnarray*}$ Vielen Dank an alle Ratgebenden VG Calvin_365
02.06.2019, 13:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du weißt, dass bezüglich zweier Basen von $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} K^m \end{eqnarray}$ die Vektorräume der linearen Abbildungen $\begin{eqnarray} \varphi:K^n\to K^m \end{eqnarray}$ und der Darstellungsmatrizen $\begin{eqnarray} A_{\varphi} \end{eqnarray}$ isomorph sind, also $\begin{eqnarray} Hom(K^n,K^m)\cong Mat_{m\times n} \end{eqnarray}$ gilt, dann brauchst du nur noch eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \pi_U:K^n\to K^m \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} ker(\pi_U)=U\le K^n \end{eqnarray}$ . Nimm eine Projektion auf ein Komplement $\begin{eqnarray} W\le K^n \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} W\oplus U=K^n \end{eqnarray}$ , längs $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ , und die zugehörige Matrix.
02.06.2019, 20:00	Calvin_365	Auf diesen Beitrag antworten »
Laut Aufgabe ist doch nur K^n gegeben. Setze ich dann für K^m einfach den Standardvektorraum mit basis der Länge m? Den Begriff der Projektion kenne ich bisher nicht. Aber offensichtlich kann man damit neue elemente aus bestehenden konstruktieren. Bedeutet es, dass über die basis von K^n auf eine basis des komplement W geschlossen wird.
02.06.2019, 22:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm U, mache Basisergänzung zu K^n, die ergänzten Vektoren sind eine Basis von W. Fixiere W und annulliere U, das nennt man eine Projektion von K^n auf W längs U. Offenbar ist das eine lineare Abbildung mit dem Kern U.
03.06.2019, 00:11	calvin_365	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben vieles so formal gar nicht eingeführt, aber durchaus intuitiv angewendet. Danke für deine Unterstützung.
03.06.2019, 07:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch etwas formaler musst du die Frage nach der Matrix mit Kern U beantworten. W zu fixieren heisst, dass seine Basis auf sich selbst abgebildet wird. U zu annullieren heisst, dass seine Basis auf den Nullvektor abgebildet wird. Die zu dieser Projektion gehörige quadratische nxn-Matrix hat in der Hauptdiagonalen n-dim(U) mal die 1, sonst 0 bezüglich der konstruierten Basis.
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