Maximum Likelihood Schätzer

02.06.2019, 13:26	mls19	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximum Likelihood Schätzer Hallo Zur Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit W einer Stahlsorte nimmt man 16 Proben. Als Mittelwert erhält man $\begin{eqnarray} \bar{x}=20 \end{eqnarray}$ und als empirische Varianz $\begin{eqnarray} s_x^2=4,4 \end{eqnarray}$ . W soll als normalverteilt angenommen werden. Nun soll man die ML-Schätzer für $\begin{eqnarray} \mu \ \text{und} \ \sigma^2 \end{eqnarray}$ bestimmen. Ich kenne es so, dass man jetzt halt die entsprechende Likelihoodfunktion aufstellt und dann eben die Maximalstelle bestimmt, was oft mit einem relativ großen Aufwand verbunden ist. Stutzig macht mich die vergleichsweise geringe Punktzahl bei dieser Aufgabe. Die anderen Aufgabenteile (Konfidenzintervalle) sind quasi Einzeiler und geben jeweils sogar 2 Punkte mehr, als diese MLS-Aufgabe. Geht es hier tatsächlich ganz schnell und einfach, übersehe ich etwas ?
03.06.2019, 10:46	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximum Likelihood Schätzer Es ist bei der Aufgabe wohl angenommen, dass die ML-Schätzer der Normalverteilung bekannt sind, obwohl ihre Herleitung auch nicht schwer ist. Der ML-Schätzer für $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ ist der Stichprobenmittelwert. Da ist also gar nichts zu rechnen. Der Begriff "empirische Varianz" wird leider unterschiedlich verwendet. Meist ist damit $\begin{eqnarray} s^2=\frac 1 {n-1} \sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2 \end{eqnarray}$ gemeint. Da musst du nachschauen, wie das bei euch definiert wurde. Der ML-Schätzer für $\begin{eqnarray} \sigma^2 \end{eqnarray}$ ist jedoch $\begin{eqnarray} \hat \sigma^2=\frac 1 n \sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2 \end{eqnarray}$ Da ist also eventuell noch eine winzige Rechnung erforderlich
03.06.2019, 11:36	mls19	Auf diesen Beitrag antworten »
Klingt logisch, ich danke dir. Die empirische Varianz haben wir genau so definiert, wie du es geschrieben hast. Demnach müsste die winzige Rechnung für den $\begin{eqnarray} \sigma^2 \end{eqnarray}$ Schätzer dann doch so lauten: $\begin{eqnarray} 4,4=\frac 1 {n-1} \sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4,4 \cdot (n-1)= \sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4,4 \cdot \frac{n-1}{n}=\frac 1 {n} \sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4,4 \cdot \frac{15}{16}=\hat \sigma^2=\frac 1 {n} \sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \hat \sigma^2=4,125 \end{eqnarray}$ Ist das so korrekt ?
03.06.2019, 11:39	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist korrekt.

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