Raum stetig differenzierbarer Funktionen

02.06.2019, 16:37	Rubidium	Auf diesen Beitrag antworten »
Raum stetig differenzierbarer Funktionen Meine Frage: Hallo, Ich habe eine Frage, die möglicherweise recht einfach zu beantworten sein dürfte, zumindest für jemanden der sich gut auskennt - ich kann mich leider nicht dazu zählen. Es geht um die Funktionenräume der p-mal stetig differenzierbaren Funktionen. Meine einfache Frage lautet: "Handelt es sich dabei um die mindestens (!) p-mal stetig differenzierbaren Funktionen oder um die genau (!) p-mal stetig differenzierbaren Funktionen?" Meine Ideen: Es handelt sich ja um einen Vektorraum, das heißt die Nullfunktion muss enthalten sein. Wenn aber die Nullfunktion enthalten ist, dann bedeutet dies, dass die Nullfunktion sowohl einmal, als auch zweimal, dreimal, viermal etc. stetig differenzierbar ist. Das würde aber bedeuten, dass eine lineare Funktion z.B. f(x) = k*x unendlich oft differenzbier sein müsste, da nach zweimaligem differenzieren die Nullfunktion vorliegt, welche ja unendlich oft differenzierbar ist. Wie darf ich diese Räume also verstehen? Grüße, Rubidium
02.06.2019, 17:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast die Frage schon fast selbst beantwortet. $\begin{eqnarray} C^p(I) \end{eqnarray}$ ist der Vektorraum der mindestens $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ mal stetig differenzierbaren reellwertigen Funktionen auf dem reellen Intervall $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ . Dass die Nullfunktion in jedem Vektorraum enthalten sein muss, ist ein guter Grund. Nur so kann es ja sein, dass $\begin{eqnarray} C^{\infty}\subset ...\subset C^2\subset C^1\subset C^0 \end{eqnarray}$ gilt.
05.06.2019, 15:54	Rubidium	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ich steh gerade etwas auf der Leitung. Was wäre ein Beispiel für eine nur einmal stetig differenzierbare Funktion, d.h. eine Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ für die gilt: $\begin{eqnarray} f \in C^1 \, \land \, f \not\in C^{\infty} \end{eqnarray}$ Rubidium
05.06.2019, 16:00	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Da kann man sich ja leicht was zusammenbasteln: $\begin{eqnarray} f(x) = \begin{cases}-x^2 & \text{für } x < 0 \\ x^2 & \text{für } x \geq 0 \end{cases} \end{eqnarray}$
05.06.2019, 16:26	Rubidium	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahso, haha, ja macht durchaus Sinn, danke euch. Rubidium

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