Rektifizierbarkeit einer Kurve

03.06.2019, 17:11	C-Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Rektifizierbarkeit einer Kurve Hallo Leute, folgende Aufgabe beschäftigt mich: Sei $\begin{eqnarray} f : [0,1] \to \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ eine Kurve mit $\begin{eqnarray} f(t)=\left\{\begin{matrix} (t,t^{a}cos(t^{-b}))^T, ~~falls ~t>0 \\ (0,0)^T, ~~~~~~~~~~falls~ t=0 \end{matrix}\right. \end{eqnarray}$ Zeige, dass f für $\begin{eqnarray} 0<a\leq b \end{eqnarray}$ nicht rektifizierbar ist. Das einzige was wir über Rektifizierbarkeit wissen ist, dass eine Kurve rektifizierbar ist mit Länge L, falls gilt: $\begin{eqnarray} \forall ~ \epsilon > 0 ~~\exists ~\delta >0 \end{eqnarray}$ , so dass für jede Unterteilung $\begin{eqnarray} t_0,t_1,...,t_k \end{eqnarray}$ mit Feinheit $\begin{eqnarray} \max_{i=1,...,k} (t_i-t_{i-1}) \leqslant \delta \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \left \| L-\sum_{i=1}^{k}\left \\| f(t_i)-f(t_{i-1}) \right \\| \right \| \leqslant \epsilon \end{eqnarray}$ . Mir fällt dazu allerdings keine geeignete Unterteilung ein mit welcher ich zeigen kann, dass die Reihe divergiert. Und wenn ich das gezeigt habe, wüsste ich nicht wie ich mit dem L im Betrag umzugehen habe. Danke im Voraus.
04.06.2019, 13:53	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rektifizierbarkeit einer Kurve Eine nicht ausgearbeitete Beweisidee: Man wähle $\begin{eqnarray} t_i \end{eqnarray}$ so, dass gilt $\begin{eqnarray} t_i^{-b}=i \pi \end{eqnarray}$ Dann sollte sich (hoffentlich) zeigen lassen, dass $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{\infty}\left \\| f(t_i)-f(t_{i-1}) \right \\| \end{eqnarray}$ divergiert.

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