Stetige, streng monotone Funktionen, deren Ableitung fast überall verschwindet

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laila49 Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige, streng monotone Funktionen, deren Ableitung fast überall verschwindet
Hallo,

ich muss das Problem, das mich seit geraumer Zeit beschäftigt, doch mal ins Forum stellen.

In einem alten Lehrbuch:

Heidelberger Taschenbücher Band 26,Grauert Lieb Differential- und Integralrechnung I, Zweite Auflage 1970 (!)
steht auf Seite 178 folgende mir Kopfzerbrechen bereitende Aussage:

"Man kann stetige, streng monotone Funktionen konstruieren, deren Ableitung fast überall existiert und verschwindet." Leider ohne Begründung.

Ich habe keine Ahnung, wie das gehen sollte, ich habe schon überlegt, als Definitionsmenge Cantor-Mengen oder etwas ähnliches zu nehmen, aber stolpere immer wieder über das Wörtchen streng. (ohne dieses Wort ist das Ganze ja wohl trivial).

Ich glaube immer mehr, dass das ein Schreibfehler ist (die Verfasser waren ja immerhin Professoren an der ruhmreichen Universität Göttingen).

Habe ich ein streng monoton wachsendes Brett vor dem Kopf und hat jemand eine Idee, wie das gehen sollte.
Danke für jede Antwort
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetige, streng monotone Funktionen, deren Ableitung fast überall verschwindet
Zitat:
Original von laila49
Ich glaube immer mehr, dass das ein Schreibfehler ist (die Verfasser waren ja immerhin Professoren an der ruhmreichen Universität Göttingen).

Das ist kein Schreibfehler! Die Anschauung verlässt einen recht schnell, wenn es um Eigenschaften geht, die fast überall gelten, aber nicht überall. In

www.user.tu-berlin.de/chenetzer/pdfs/RA.pdf

ist in Beispiel 4.25 die Konstruktion einer solchen "perversen" Funktion etwas näher erläutert. Der Autor des Dokuments scheint übrigens einige Zeit Helfer in diesem Forum gewesen zu sein.
laila49 Auf diesen Beitrag antworten »

danke, Huggy.

mein Verdacht mit der Cantor-Menge war ja doch nicht ganz unberechtigt. "Pervers" ist ja ein sehr höflicher Ausdruck für diese Funktion.
Ich dachte immer, die als Beispiel für eine nicht Lebesgue-integrierbare beschränkte Funktion verwendete Funktion wäre der Gipfel der Perversität, aber es kann tatsächlich ja noch viel schlimmer kommen.
Werde mich erst einmal durch folgenden Artikel arbeiten:
https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~tha...z_Cantorfkt.pdf

Vielleicht verstehe ich dann ansatzweise das von die zitierte Beispiel.

Ich weiß, dass ich fast nichts weiß.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist noch eingefallen, dass ich schon früher mal auf eine andere solche Funktion gestoßen bin. Ihre Konstruktion ist etwas natürlicher. Sie beruht auf einem Spiel, "das kühne Spiel" oder "bold play" genannt.

Ein Spieler hat ein Anfangskapital mit . In einer Spielrunde kann er einen beliebigen Teil seines Kapitals einsetzen. Gewinnt er, erhält er den doppelten Einsatz zurück. Verliert er, ist der Einsatz weg. Er gewinnt in jeder Runde mit der Wahrscheinlichkeit mit .

Sein Ziel ist es, das Kapital zu erreichen. Er spielt so lange, bis er dieses Ziel erreicht hat oder bis er pleite ist. Dabei verfolgt er folgende Setzstrategie: Ist sein aktuelles Kapital , so setzt er sein ganzes Kapital. Gewinnt er, hat er danach . Verliert er, ist er pleite. Ist sein aktuelles Kapital , setzt er . Gewinnt er, hat er das Kapital erreicht und hört auf.

Es sei nun die Wahrscheinlichkeit, dass er bei einem Anfangskapital sein Ziel erreicht. ist eine stetige, streng monoton wachsende Funktion. Und für ist ist die Ableitung von fast überall .

http://www.randomservices.org/random/games/Bold.html


P.S. Die Heidelberger Taschenbücher habe ich auch noch gut in Erinnerung. In meinem Bücherregal steht noch immer Courant/Hilbert, Mathematische Physik I und II
laila49 Auf diesen Beitrag antworten »

es ist schon mehr als verrückt, wie diese Funktion konstruiert wird.

mein größter Denkfehler war, dass "fast überall" nicht heißt: überall außer auf endlich vielen Punkten, sondern überall außer auf einer Nullmenge.
Außerdem ist die so konstruierte Funktion, wenn ich das richtig verstanden habe, zwar fast überall diffbar, aber auf keinem Intervall (habe nicht gedacht, dass es so etwas überhaupt gibt)!?!
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