Nach der Bogenlänge parametrisierte Kurve

Neue Frage »

03.06.2019, 19:27	jaaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach der Bogenlänge parametrisierte Kurve Meine Frage: Hallo, Meine Aufgabe, was ich nicht verstehe wäre. Sei $\begin{eqnarray} \gamma : \mathbb R \Rightarrow \mathbb R ^{2}, t -> \left(\begin{pmatrix} \frac{t^{3} }{3} \\ \frac{t^{2}}{2} \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie parametrisierte Kurve nach der Bogenlänge Meine Ideen: ich habe leider gar keine Ideen, könnte mir jemand Tipps geben oder helfen? Wäre sehr dankbar
03.06.2019, 20:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Kurvenlänge $\begin{eqnarray} s=s(t) \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \dot{s}^2 = \\|\dot{\gamma}\\|^2 = \dot{x}^2 + \dot{y}^2 = (t^2)^2 + t^2 = t^2(1+t^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \dot{s} = t\sqrt{1+t^2} \end{eqnarray}$ Einmal integrieren, und du bekommst $\begin{eqnarray} s=s(t) \end{eqnarray}$ , was du umstellen kannst als $\begin{eqnarray} t=t(s) \end{eqnarray}$ . Dazu brauchst du allerdings auch noch den Startpunkt der Kurve (also ab dem die Länge gemessen werden soll) - ich nehme mal an, das soll $\begin{eqnarray} \gamma(0)= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sei, oder?
03.06.2019, 23:01	jaaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, danke für deine Antwort. Startpunkt der Kurve ist irgendwie nicht gegeben.. Meinst du mit integriren so $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\frac{t^{3} }{3} } \! t\sqrt{1+t^{3} } \, dt \end{eqnarray}$ ?
04.06.2019, 08:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Was soll diese verrückte obere Integralgrenze??? Ich meine selbstverständlich $\begin{eqnarray} s(\tau) = \int\limits_0^{\tau} \dot{s}(t) ~ \dd t = \int\limits_0^{\tau} t\sqrt{1+t^2} ~ \dd t \end{eqnarray}$ .
04.06.2019, 09:51	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurven haben eine Richtung, die durch das Intervall der definierenden Parameterdarstellung festgelegt wird. Durchläuft der Parameter aufsteigend das Intervall, durchlaufen die Kurvenpunkte die Kurve. Die Bogenlänge eines Kurvenstücks sollte nichtnegativ ausfallen. Was ist aber, wenn der Kurvenstart irgendwie in die "Mitte" der Kurve gelegt wird? Soll dann die Bogenlänge in der einen Richtung positiv, in der andern negativ ausfallen? Oder immer positiv? Das von HAL angegebene Integral tut Letzteres. Sonst müßte man $\begin{align} s(\tau) = \int \limits_0^{\tau} \|t\| \cdot \sqrt{1+t^2} ~ \dd t \end{align}$ schreiben. Ich kenne eine Kurve als stetiges Bild eines kompakten Intervalls, durch Klassenbildung kann man sich auf das Einheitsintervall beschränken: $\begin{align} \gamma: \ [0,1] \to \mathbb{R}^n \end{align}$ Das ist eine enge Auffassung des Kurvenbegriffs. Nun mag man auch andere Auffassungen vertreten wie in der Aufgabe hier: $\begin{align} \gamma: \ (-\infty,\infty) \to \mathbb{R}^2 \end{align}$ Dann sollte man aber die oben aufgeworfenen Fragen, insbesondere die Frage der Orientierung, klären.
04.06.2019, 12:57	jaaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe für Integral das hier bekommen, habe $\begin{eqnarray} \sqrt{1+t^{2} } \end{eqnarray}$ substituirt $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}\left(1+t^{2} \right) ^{\frac{3}{2} } \end{eqnarray}$ Ist das richtig?
Anzeige

04.06.2019, 12:59	jaaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
und wenn ich Umkehrfkt finde, dann ist t = $\begin{eqnarray} \left(3s-1\right) ^{\frac{3}{2} } \end{eqnarray}$ und dann einsetzten.
04.06.2019, 13:03	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, wie Leopold richtig angemerkt hat, sprechen wir (zunächst) nur über positive $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \tau \end{eqnarray}$ . Dein Ergebnis passt aber nicht ganz, vermutlich hast du der unteren Grenze zuwenig Beachtung geschenkt... Jedenfalls ist $\begin{eqnarray} s(t) = \int\limits_0^t u\sqrt{1+u^2} ~ \dd u = \frac{1}{3}\left( \left(1+t^2\right)^{\frac{3}{2}}-1\right) \end{eqnarray}$ .
05.06.2019, 13:15	jaaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!
05.06.2019, 16:07	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist damit denn die Umstellung nach $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ klar? Weil oben hat es noch ziemlich vergurkt ausgesehen, und das nicht nur wegen der fehlenden Integrationskonstanten. Zur Kontrolle: $\begin{eqnarray} t = t(s) = \sqrt{(1+3s)^{\frac{2}{3}}-1} \end{eqnarray}$
23.06.2019, 16:19	jaaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, vielen Dank. Du hast mir sehr geholfen

Neue Frage »

Antworten »

Nach der Bogenlänge parametrisierte Kurve

Verwandte Themen