Faktorieller Ring mit Verbandshomomorphismus

04.06.2019, 08:40	Kaazul	Auf diesen Beitrag antworten »
Faktorieller Ring mit Verbandshomomorphismus Hi, Ich sitze an einer längeren Aufgabe in Algebra von der ich die ersten Teile gelöst habe, aber mir unklar bin ob mein Lösungsansatz für den Rest passt. Die Aufgabenstellung ist: (3)Sei R ein faktorieller Ring und P die Menge aller Assoziiertenklassen $\begin{eqnarray} [p]_{\sim} \end{eqnarray}$ von prim Elementen. Definiere die Zuordnung: $\begin{eqnarray} \phi:[a]_{\sim}\mapsto (n_p)_{p\in P} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall a \in R\backslash \{0\} \end{eqnarray}$ Ist $\begin{eqnarray} a\sim p_1^{e_1}...p_n^{e_n} \end{eqnarray}$ mit paarweise verschiedenen $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray}$ so ist $\begin{eqnarray} n_p=e_i \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} i=1,2,...,n \end{eqnarray}$ andernfalls $\begin{eqnarray} n_p=0 \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} \phi(a)=\phi(0)=(\infty)_{p\in P} \end{eqnarray}$ So wird ein Verbandshomomorphismus (Einbettung) $\begin{eqnarray} \phi : R \rightarrow K^P \end{eqnarray}$ des Teilerverbands in das direkte Produkt \|P\| vieler Kopien der Kette $\begin{eqnarray} K:=(\mathbb{N}_{\infty},\leq) \end{eqnarray}$ . Also die totalgeordnete Menge der natürlichen Zahlen ergänzt um ein größtes Element $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ (4) Der Teilerverband in einem faktoriellen Ring modulo Assoziertheit ist distributiv und vollständig Also für Assoziertheit weiß ich: $\begin{eqnarray} a \sim b \Leftrightarrow a\|b \end{eqnarray}$ und b\|a Als erstes muss ich zeigen, dass die Zuordnung wohldefiniert ist. Das ist sie, da in jedem faktoriellen Ring jedes Element eine eindeutige Primzerlegung hat. Dadurch hat jeder Repräsentant einer Assoziertenklasse die gleiche Zerlegung, also auch die selben Werte unter $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ Dann muss ich zeigen, dass es ein Homomorphismus ist. Da es sich um Verbände handelt muss es bezüglich sup und inf ein Homomorphismus sein. Also: z.z.: $\begin{eqnarray} \phi(a\wedge b)=\phi(a)\wedge \phi (b) \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \phi (a \vee b)=\phi(a)\vee \phi (b) \end{eqnarray}$ Mit der Definition der Assoziiertheit (und da gilt $\begin{eqnarray} [a]_{\sim}\|[b]_{\sim} \Rightarrow a\|b \end{eqnarray}$ ) kann ich auch einfach $\begin{eqnarray} a \wedge b \end{eqnarray}$ betrachten. Sei $\begin{eqnarray} a\|b \end{eqnarray}$ Dann gilt offensichtlich dass b obere Schranke ist und sogar kleinste obere Schranke von a,b. Durch die eindeutige Primzerlegung folgt, dass $\begin{eqnarray} a \sim p_1^{e_1}...p_n^{e_n} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} b\sim p_1^{f_1}...p_m^{f_m} \end{eqnarray}$ . Wegen a\|b gilt $\begin{eqnarray} \forall i: e_i \leq f_i \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \phi [a]_{\sim} \leq \phi [b]_{\sim} \end{eqnarray}$ Deswegen ist $\begin{eqnarray} \phi [b]_{\sim} \end{eqnarray}$ obere Schranke. Aber es gilt sogar $\begin{eqnarray} \phi [a]_{\sim}\wedge \phi [b]_{\sim} =\phi[b]_{\sim} \end{eqnarray}$ . Analog für das inf. Daraus folgt $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ist ein verbandshomomorphismus. Zu (4): Ich habe in vorherigen Teilen der Aufgabe schon gezeigt, dass jede Kette ein distributiver Verband ist und dass diese spezielle Kette K vollständig ist. Deswegen ist mein Argumentation, dass mithilfe der Einbettung $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ aus Punkt (3) die Aussage von Punkt (4) gilt. Stimmen diese Lösungsansätze? In Punkt (3) muss ich auf jeden fall genauer argumentieren wieso es wirklich dann das sup ist. Bin mir nur etwas unsicher ob das der richtige Weg ist. Danke für die Hilfe!
04.06.2019, 11:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Vermutlich sollst du bei dem Verbandshomomorphismus nicht nur den Fall $\begin{eqnarray} a\|b \end{eqnarray}$ betrachten sondern den allgemeinen Fall $\begin{eqnarray} a,b\in R \end{eqnarray}$ . Nützlich sind dabei sicher die Begriffe $\begin{eqnarray} ggT(a,b) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} kgV(a,b) \end{eqnarray}$ , die sich über die jeweils (bis auf Assoziiertheit und Reihenfolge) eindeutige Primzerlegung darstellen lassen. Für das Verständnis wichtig ist auch der Beweis, dass $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ injektiv ist und warum nicht bijektiv (nicht surjektiv ist im allgemeinen klar, aber gibt es auch Beispiele für bijektiv ?).
04.06.2019, 13:37	Kaazul	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, ich muss es ja allgemein betrachten. Also sei: $\begin{eqnarray} a,b \in R \end{eqnarray}$ . Ich weiß dass für den $\begin{eqnarray} ggT(a,b)=:c \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} c\|a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c\|b \end{eqnarray}$ , sowie dass für jeden weiteren Teiler d von a,b gilt, $\begin{eqnarray} d\|c \end{eqnarray}$ . Da es ein faktorieller Ring ist haben $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ jeweils eindeutige Primzerlegungen. Wenn dann eine Primfaktorzerlgung $\begin{eqnarray} p_i^{e_i} \end{eqnarray}$ eine andere $\begin{eqnarray} q_j^{f_j} \end{eqnarray}$ teilt, dann kann in der ersten nur die selbenprimelemente vorkommen wie in der zweiten Primfaktorzerlegung und es muss gelten $\begin{eqnarray} e_i \leq f_i \end{eqnarray}$ . Daraus folgt mal zumindest, dass der ggT im Teilerverband des faktoriellen Rings mod Assoziiertheit auch eine untere Schranke ist. Wenn es jetzt ein weiteres Element geben würde $\begin{eqnarray} n_p \end{eqnarray}$ sodass gilt: $\begin{eqnarray} n_p \end{eqnarray}$ ist untere Schranke und $\begin{eqnarray} \phi(c) \leq n_p \end{eqnarray}$ , dann schau ich mir das Urbild an von $\begin{eqnarray} n_p \end{eqnarray}$ , welches ein größerer Teiler wäre als c und das wäre ein Widerspruch dazu dass gilt: $\begin{eqnarray} ggT(a,b)=c \end{eqnarray}$ . Bezüglich injektivität muss gelten: $\begin{eqnarray} \phi(a)=\phi(b) \Rightarrow a=b \end{eqnarray}$ . Wenn aber nun gilt $\begin{eqnarray} \phi([a]_{\sim}) =\phi([b]_{\sim}) \end{eqnarray}$ heißt das, dass die Vielfachheiten der jeweiligen Primelemente der Primzerlegung gleich sind, also dass a und b die gleiche Primdarstellung haben, also $\begin{eqnarray} a\sim b \Rightarrow [a]_{\sim}=[b]_{\sim} \end{eqnarray}$ Stimmt es eigentlich für Punkt (4), dass wenn ich einen Verbandshomomorphismus/Einbettung habe in einen vollständigen, distributiven Verband, dass der ursprüngliche Verband dann auch distributiv und vollständig sein muss?
04.06.2019, 13:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
ggT und kgV kann man in faktoriellen Ringen ganz konkret angeben. Wenn man mit der begrifflichen Theorie der modernen Algebra nicht so ganz klar kommt hilft manchmal das Rechnen. Emmy Noether würde sich jetzt sicher im Grabe umdrehen, wenn sie wüßte, was ich hier vorschlage, aber sie weiß es ja nicht. Helmut Hasse hat das in seinen Vorlesungen noch so gemacht. Habe den Mut, ausnahmsweise einmal altmodisch zu sein.
04.06.2019, 14:16	Kaazul	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich stehe ein bisschen auf dem Schlauch und weiß nicht genau was du meinst.
04.06.2019, 18:21	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a\cong \prod_{p\in P}p^{a_p},b\cong\prod_{p\in P}p^{b_p}\Rightarrow ggT(a,b)\cong\prod_{p\in P}p^{min(a_p,b_p)},kgV(a,b)\cong\prod_{p\in P}p^{max(a_p,b_p)} \end{eqnarray}$ Das ist das Infimum und Supremum im Teilerverband des faktoriellen Rings. Wirklich und wahrhaftig, nicht nur theoretisch.
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