Absolute Konvergenz uneigentlicher Riemann Integrale

04.06.2019, 10:38

JuJu87

Absolute Konvergenz uneigentlicher Riemann Integrale

Hallo liebe Leute,
ich hänge gerade an folgender Aufgabe so ziemlich fest:

Sei die Funktion $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R^2 \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch:
$\begin{eqnarray*} (x_1 ,x_2) = \begin{pmatrix} \frac{x_1 x_2}{(x_1^2 +x_2^2)^2} & (x_1 ,x_2) \neq (0,0)\\ 0 & (x_1 ,x_2 = (0,0) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
f ist mü2 messbar, zeigen Sie :

a) Für alle $\begin{eqnarray*} x_1 x_2 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ konvergiert die uneigentlichen Riemann-Integrale $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R }^{} \! f(s,x_2) \, ds, \int_{\mathbb R }^{} \! f(x_1 ,t) \, dt \end{eqnarray*}$ absolut.

b)es gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{R \to \infty } \int_{-R}^{R} \! \int_{\mathbb R }^{} \! f(x_1 , x_2) \, dx_1 \, dx_2 =\lim_{R \to \infty } \int_{-R}^{R} \! \int_{\mathbb R }^{} \! f(x_1 , x_2) \, dx_2 \, dx_1 = 0 \end{eqnarray*}$

a) Also generell ist ja ein Integral absolut. Konvergenzen es Konvergent ist und der Betrag des Integrals auch Konvergiert und Kleiner gleich dem Integral ist. Allerdings verstehe ich bei der Aufgabe nicht so richtig woher das s und das t kommt, bzw wie ich hiermit arbeiten soll

b) Hierbei wäre mein erster Gedanke das ich die Funktion 2 mal Integriere ( erst nach x1 dann nach x2 und erst nach x2 und dann nach x1) Kann man das so machen?

Über Hilfe und Anregungen wäre ich sehr dankbar

04.06.2019, 11:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von JuJu87
Allerdings verstehe ich bei der Aufgabe nicht so richtig woher das s und das t kommt, bzw wie ich hiermit arbeiten soll

Es werden die Integrale nach der ersten bzw. zweiten Variable von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gebildet, wobei die jeweils andere Variable festgehalten wird. Da ist es doch wurst, wie man die Integrationsvariable nennt. Der Autor hat sie nur aus guten Gründen nicht $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ genannt, weil das in dem Kontext zu einer Symbol-Kollision geführt hätte.

b) baut doch auf den Ergebnissen von a) auf - zumindest, wenn du die dort genannten Integrale auch tatsächlich berechnet hast.

04.06.2019, 17:28

JuJu87

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danke für den Hinweis,
also wähle ich für das x einen festen Wert und integriere über die Andere Variable, hierbei ist dann ja bei beiden das Ergebnis identisch.

Also nehme ich für das x2 nun einmal den Wert 2 bekomme ich als Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{s^2 +4} +C \end{eqnarray*}$
oder habe ich das falsch verstanden ?

04.06.2019, 18:42

JuJu87

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also ich habe jetzt her ausgefunden das es sich hierbei um das bestimmte Integrieren handelt.

Aber hierfür benötige ich doch eingetlich Integrationsgrenzen damit ich F(b)- F(a) rechnen kann und in diesem fall habe ich ja keine wirkliche grenze oder liege ich da falsch?

16.02.2020, 00:02

CrazyL

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Zu a); Die Grenzen sind ein bisschen durch die Kurzschreibweise $\begin{eqnarray*} \int_{\color{red}\mathbb{R}\color{black}}\ldots \end{eqnarray*}$ "versteckt" - im ersten Teil wird z.B. über alle $\begin{eqnarray*} s\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ integriert, von wo bis wo darf $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ dann laufen?

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