Differenzierbarkeit (2x²-3)/5x

04.06.2019, 12:08

Ersti218

Differenzierbarkeit (2x²-3)/5x

Meine Frage:
Guten Tag.
Ich versuch zu begründen warum die folgende Funktion über ihren gesamten Definitionsbereich differenzierbar ist.
$\begin{eqnarray*} f : \mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{2 x^{2}-3}{5 x} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich hab jetzt versucht es über den Differenzenquotient zu beweisen
$\begin{eqnarray*} \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} x_{0}\neq 0 \end{eqnarray*}$

Mit der Formel eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{(2x^{2}-3)/x-(2x_{0}^{2}-3)/x_{0}}{x-x_{0}} \end{eqnarray*}$

Ich hab das Ganze aufgelöst auf
$\begin{eqnarray*} \lim _{x \rightarrow x_{0}}\frac{2}{1-\frac{x_{0}}{x} }-\frac{2}{\frac{x}{x_{0}}-1 }-\frac{3}{x(x-x_{0}) }+\frac{3}{x_{0}(x-x_{0}) } \end{eqnarray*}$
Wenn ich jetzt richtig Überlegt habe müssten sich die jeweilig ähnlichen Brüche egal ob sich x von oben oder unten annähert gegenüberstehen und mit gleicher Geschwindigkeit wachsen.
Sprich der eine geht $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$ der andere $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ .

Jetzt wollt ich Fragen ob sich die Brüche so aufheben und
$\begin{eqnarray*} \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=0 \end{eqnarray*}$ gilt was bedeutet f ist differenzierbar.
Falls ich mir nur Quatsch zusammendenke wäre ein andere Lösungsansatz auch willkommen.

04.06.2019, 12:40

klarsoweit

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RE: Differenzierbarkeiz (2x²-3)/5x

Zitat:

Original von Ersti218
Mit der Formel eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{(2x^{2}-3)/x-(2x_{0}^{2}-3)/x_{0}}{x-x_{0}} \end{eqnarray*}$

Wohin ist denn der Faktor 5 im Nenner der Funktion entschwunden?

Zitat:

Original von Ersti218
Wenn ich jetzt richtig Überlegt habe müssten sich die jeweilig ähnlichen Brüche egal ob sich x von oben oder unten annähert gegenüberstehen und mit gleicher Geschwindigkeit wachsen.
Sprich der eine geht $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$ der andere $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ .

Das klingt schon ein wenig merkwürdig, zumal Begriffe wie "ähnlich" oder "Geschwindigkeit" hier wohl nicht definiert wurden.

Zitat:

Original von Ersti218
Jetzt wollt ich Fragen ob sich die Brüche so aufheben und
$\begin{eqnarray*} \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=0 \end{eqnarray*}$ gilt was bedeutet f ist differenzierbar.

Daß der Grenzwert Null ist, wird an den meisten Stellen nicht der Fall sein, wie du dir auch leicht an der Funktion f(x) = 1/x überlegen kannst.

Zitat:

Original von Ersti218
Falls ich mir nur Quatsch zusammendenke wäre ein andere Lösungsansatz auch willkommen.

Die Frage ist, ob du es unbedingt mit dem Differenzenquotienten machen mußt. Ansonsten würde ich einschlägige Sätze über die Differenzierbarkeit von Quotienten von differenzierbaren Funktionen anwenden. smile

05.06.2019, 19:04

Ersti218

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RE: Differenzierbarkeiz (2x²-3)/5x
Ja da war ich wohl auf dem Holzweg.
Wenn ich mich jetzt nicht irre dürfte es reichen die Differenzierbarkeit der Quotienten über bsw. der
h-Methode zu zeigen.

06.06.2019, 08:52

klarsoweit

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RE: Differenzierbarkeit (2x²-3)/5x
Ob du nun die "h-Methode" nimmst und das h gegen Null laufen läßt, oder statt h "x - x_0" nimmst und x gegen x_0 laufen läßt, ist Jacke wie Hose. Wenn du es unbedingt mit dem Differenzenquotienten machen willst (oder mußt), solltest du an dieser Stelle

Zitat:

Original von Ersti218
Mit der Formel eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{(2x^{2}-3)/x-(2x_{0}^{2}-3)/x_{0}}{x-x_{0}} \end{eqnarray*}$

nötige Korrekturen machen und richtig weiterrechnen. Es muß dann lauten:

$\begin{eqnarray*} \lim _{x \to x_0} \frac{\frac{2x^2-3}{5x} - \frac{2x_0^2-3}{5x_0}}{x-x_0} = \frac{\frac{2x^2x_0-3x_0}{5xx_0} - \frac{2xx_0^2-3x}{5xx_0}}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du die Brüche zusammenfassen und im Zähler x-x_0 ausklammern.

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