Dreiecke mit Inkreisen im Rechteck

04.06.2019, 14:47

Ogoat

Dreiecke mit Inkreisen im Rechteck

Meine Frage:
Frage vollständig auf dem angehängten Bild. (Aus einem Rätsel einer Samstagszeitung.)

Meine Ideen:
Ich habe jetzt schon einige Zeit darauf verwendet und habe versucht einige auf Wikipedia gefundene Formeln für Inkreise in rechtwinkligen Dreiecken so umzustellen, dass sich die Seiten rauskürzen und nur die Radien als Formel übrig bleiben.(https://de.wikipedia.org/wiki/Inkreis) Ich habe das "Gefühl" dass hier gilt:

$\begin{eqnarray*} R_{blau}^{2} = R_{rot}^{2} + R_{grün}^{2} \end{eqnarray*}$

Allerdings ist das ein reines Gefühl und ich kann es nicht mathematisch beweisen.

04.06.2019, 15:03

Ogoat

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RE: Dreiecke mit Inkreisen im Rechteck
Mir fällt gerade auf, dass die Kleinen Winkel aller Dreiecke gleich sind, da die jeweiligen Schänkel in einem 90° Winkel zueinander stehen. Ist darüber vielleicht ein Beweiis möglich?

04.06.2019, 15:12

HAL 9000

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Die drei zu sehenden rechtwinkligen Dreiecke sind einander ähnlich, der Ähnlichkeitsfaktor wirkt sich dann genauso auf deren Inkreisradien aus. Es gibt damit u.a. auch einen gemeinsamen Proportionalitätsfaktor $\begin{eqnarray*} k>0 \end{eqnarray*}$ , so dass der Zusammenhang $\begin{eqnarray*} F = k\cdot r^2 \end{eqnarray*}$ zwischen Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ sowie Inkreisradius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ dieser drei rechtwinkligen Dreiecke gilt.

Das große Dreieck oben hat nun zudem einen Flächeninhalt, der der halben Rechteckfläche, und damit der Summe der beiden kleinen Dreiecksflächeninhalte entspricht. Das ergibt

$\begin{eqnarray*} k r_{\text{blau}}^2 = k r_{\text{rot}}^2 + k r_{\text{grün}}^2 \end{eqnarray*}$ ,

womit ich deine obige Vermutung bestätigen kann.

19.06.2019, 22:48

klauss

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Anderer Weg (die Ähnlichkeit ausnutzend):

$\begin{eqnarray*} \frac{b}{a}=\frac{12}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d^{2}=a^{2}+b^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow d=\sqrt{a^{2} +\frac{144}{25}a^{2} }=\frac{13}{5}a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{r_{B} }{5} =\frac{d}{a}= \frac{\frac{13}{5}a }{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_{B}=13 \end{eqnarray*}$

23.06.2019, 00:39

leser00

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Wäre solch eine Lösung durch Einzeichnen von ein paar Hilfsllinien ebenfalls zulässig ?

Die Idee ist durch das gelbe, rechtwinklige Dreieck alle 3 Radien zu kombinieren und mit Pythagoras den gesuchten Radius zu berechnen.

23.06.2019, 16:03

mYthos

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Die Hilfslinien sind zwar eingängig, dennoch muss dabei gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray*} NS = r_1 \end{eqnarray*}$ und vor allem, dass $\begin{eqnarray*} EM_2 \end{eqnarray*}$ parallel zur Geraden ANSB ist.

mY+

23.06.2019, 17:57

nichteuerernst

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RE: Dreiecke mit Inkreisen im Rechteck
"Ich habe das "Gefühl" dass hier gilt:..."

Dein Gefühl täuscht dich nicht.
1) Die drei Dreiecke sind ähnlich.
2) Die Hypotenusen stehen (von klein nach groß) im Verhältnis 5:12:13. (Die 13 ergibt sich aus $\begin{eqnarray*} \sqrt{5^2+12^2}=13 \end{eqnarray*}$ )
3) Dieses Verhältnis besteht auch zwischen allen übrigen einander entsprechenden Stücken der ähnlichen Dreiecke (auch zwischen den Inkreisradien).

24.06.2019, 09:16

leser00

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Zitat:

Die Hilfslinien sind zwar eingängig, dennoch muss dabei gezeigt werden, dass NS=r1 und vor allem, dass EM2 parallel zur Geraden ANSB ist.

Und weil das wahrscheinlich nicht mal eben schnell gemacht ist, ist es die Mühe wohl nicht wert und man geht lieber den Weg über die Ähnlichkeit ?

24.06.2019, 12:13

mYthos

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@leser00
Wenn du schon einen so schönen Vorschlag machst, könntest du das Ding doch auch zu Ende führen.
In GeoGebra ist es zwar offensichtlich, doch fehlt noch der endgültige Beweis.

mY+

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