Jensensche Ungleichung und Logarithmus

04.06.2019, 15:07

mathestudent97

Jensensche Ungleichung und Logarithmus

Meine Frage:
Hallo. Ich stehe irgendwie gerade ein bisschen auf dem Schlauch, was die Anwendung der Jensenschen Ungleichung angeht.
Mein Problem:
Jensen besagt unter bestimmen Voraussetzungen:
$\begin{eqnarray*} f(x_1) + ... + f(x_n) \leq n \cdot f(\frac{x_1+...+x_n}{n}). \end{eqnarray*}$
Nun habe ich die Ungleichung $\begin{eqnarray*} -\sum_{i=1}^{n} p_i(x_i) \log(p_i(x_i)) \leq \log(n) \end{eqnarray*}$ und möchte diese anhand von Jensen zeigen. p ist dabei eine Dichtefunktion, also $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n} p_i(x_i) = 1. \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Idee:
$\begin{eqnarray*} -\sum_{i=1}^{n} p_i(x_i) \log(p_i(x_i)) \leq -n \cdot \frac{\sum p_i(x_i)}{n} \cdot \log(\frac{\sum p_i(x_i)}{n}) = - \log(\frac{1}{n}). \end{eqnarray*}$
Ich denke, dass ich irgendwo einen Fehler gemacht habe oder die Verbindung nicht sehe, aber weiter komme ich leider nicht. Kann mir jemand helfen?

04.06.2019, 15:23

HAL 9000

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Naja, eigentlich bist du fertig, denn es ist ja gemäß Logarithmenregeln $\begin{eqnarray*} -\log\left(\frac{1}{n}\right) = \log(n) \end{eqnarray*}$ .

Natürlich weiß ich nicht, ob du alle notwendigen Vorarbeiten erledigt hast: Der Jensen in der von dir genannten Form gilt nur für konkave Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , das hast du für dein $\begin{eqnarray*} f(x)=-x\log(x) \end{eqnarray*}$ im Intervall (0,1) nachgewiesen?

04.06.2019, 15:30

mathestudent97

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Oh man, da stand ich aber wirklich auf dem Schlauch, danke!
Ja, alle nötigen Vorarbeiten habe ich schon erledigt. Wir haben in der Vorlesung gezeigt, dass Dichtefunktionen konkav sind und ich befinde mich sowieso nur auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ . Mir hat nur der Zusammenhang gefehlt.

04.06.2019, 15:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von mathestudent97
dass Dichtefunktionen konkav sind

Du redest dich um Kopf und Kragen: Die (diskrete) Dichtefunktion ist $\begin{eqnarray*} p_i(x_i) \end{eqnarray*}$ , die ist nicht konkav. Sondern $\begin{eqnarray*} f(x)=-x\log(x) \end{eqnarray*}$ ist es.

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