Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenreihen

05.06.2019, 01:34

Chaotica

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Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenreihen

Guten Morgen zusammen,

Bei diesen beiden Aufgaben blicke ich wieder nicht durch:

1) Zeige, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{nx}{1+n^4x^2} \end{eqnarray*}$ gleichmäßig auf $\begin{eqnarray*} [a; \infty) \end{eqnarray*}$ , (a>0) konvergiert.
Hinweis: Finde zuerst das Maximum der zugehörigen Folge auf $\begin{eqnarray*} [0; \infty) \end{eqnarray*}$ .

Hier dachte ich zuerst: Super, das schreit wieder nach dem Weierstraßschen Majorantenkriterium.
Aber dabei bekam ich als Maximum/Supremum der Folge $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ heraus; und das konvergiert als Reihe nicht, womit der M-Test nicht erfüllt ist.

An dem Versuch, die Grenzfunktion zu finden, um über die Definition der gleichmäßigen Konvergenz zu gehen, bin ich aber auch wieder gescheitert.

2) Zeige, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} 2^n\sin(\frac{1}{3^nx}) \end{eqnarray*}$ gleichmäßig auf $\begin{eqnarray*} [a; \infty) \end{eqnarray*}$ , (a>0) konvergiert.
Hinweis: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1 \end{eqnarray*}$

Hier habe ich zuerst gedacht, ich könnte den Hinweis direkt verwenden, um die Reihe zu vereinfachen und so die Grenzfunktion zu finden. Mein Gedankengang: Wenn $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ , dann strebt das Argument des Sinus gegen 0. => Ersetze den Sinus durch den Kehrwert des Arguments.
Dann wies mich aber ein Tutor darauf hin, dass dies erst für sehr große n gelte, also nicht zu Beginn der Reihe.

Da ich daraufhin wieder keine Grenzfunktion ermitteln konnte, habe ich es auch hier mit dem Weierstraßschen M-Test versucht. Jedoch ergab sich bei mir $\begin{eqnarray*} \sup |2^n\sin(\frac{1}{3^nx})| = 2^n \end{eqnarray*}$ , was wiederum divergiert.

Habe ich mich nur irgendwo verrechnet, übersehe ich etwas, oder fehlt mir schon wieder ein praktisches Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz? verwirrt

verwirrt

Könnt ihr mir bitte noch einmal helfen?

05.06.2019, 08:28

klarsoweit

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RE: Weitere Aufgaben zur gleichmäßigen Konvergenz von Funktionenreihen

Zitat:

Original von Chaotica
Aber dabei bekam ich als Maximum/Supremum der Folge $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ heraus; und das konvergiert als Reihe nicht, womit der M-Test nicht erfüllt ist.

Da hast du eine Kleinigkeit übersehen, denn das gilt nur für $\begin{eqnarray*} a \leq \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ . Bis auf endlich viele Ausnahmen ist also das Maximum an der linken Intervallgrenze, also gleich $\begin{eqnarray*} \frac{n \cdot a}{1+n^4a^2} \end{eqnarray*}$ . smile

smile

Zitat:

Original von Chaotica
Da ich daraufhin wieder keine Grenzfunktion ermitteln konnte, habe ich es auch hier mit dem Weierstraßschen M-Test versucht. Jedoch ergab sich bei mir $\begin{eqnarray*} \sup |2^n\sin(\frac{1}{3^nx})| = 2^n \end{eqnarray*}$ , was wiederum divergiert.

Da hast du das gleiche Problem wie bei Aufgabe 1. Für $\begin{eqnarray*} a \geq \frac{2}{3^n \pi} \end{eqnarray*}$ ist das Supremum wieder an der linken Intervallgrenze.

Ich würde eher mal die Funktion $\begin{eqnarray*} f_n(x) = \frac{2^n}{3^nx} \cdot 3^nx \cdot \sin(\frac{1}{3^nx}) \end{eqnarray*}$ betrachten. smile

smile

Zitat:

Original von Chaotica
Hinweis: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1 \end{eqnarray*}$

Gemeint ist wohl $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1 \end{eqnarray*}$ .

05.06.2019, 14:22

Chaotica

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RE: Weitere Aufgaben zur gleichmäßigen Konvergenz von Funktionenreihen
Zunächst einmal danke für deine Antwort, und du hast natürlich Recht damit, dass ich den Laufindex beim Limes verwechselt habe. Kleiner nächtlicher Flüchtigkeitsfehler. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Leider habe ich Schwierigkeiten, deine Erklärung nachzuvollziehen. Ups

Ups

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Chaotica
Aber dabei bekam ich als Maximum/Supremum der Folge $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ heraus; und das konvergiert als Reihe nicht, womit der M-Test nicht erfüllt ist.

Da hast du eine Kleinigkeit übersehen, denn das gilt nur für $\begin{eqnarray*} a \leq \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ . Bis auf endlich viele Ausnahmen ist also das Maximum an der linken Intervallgrenze, also gleich $\begin{eqnarray*} \frac{n \cdot a}{1+n^4a^2} \end{eqnarray*}$ . smile

smile

Also die Ableitung meiner Folge ergab $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \sup |\frac{nx}{1+n^4x^2}| = f_n(\frac{1}{n^2}) = \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ . Wie kommst man darauf, dass dies nur für $\begin{eqnarray*} a\leq\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ gilt?
Hat das irgendetwas damit zu tun, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0 \end{eqnarray*}$ gilt, aber $\begin{eqnarray*} a \geq 0 \end{eqnarray*}$ sein muss?

Irgendwie bekomme ich langsam das Gefühl, dass ich noch irgendetwas Grundsätzliches nicht verstanden habe. Forum Kloppe

Forum Kloppe

05.06.2019, 14:39

klarsoweit

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RE: Weitere Aufgaben zur gleichmäßigen Konvergenz von Funktionenreihen
Nun ja, du mußt doch deine Funktionen auf dem Intervall [a; unendlich) mit a > 0 betrachten. Wenn nun 1/n² < a ist (das ist irgendwann der Fall), dann kann ja wohl nicht f_n(1/n²) das Supremum sein.

06.06.2019, 20:16

Chaotica

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RE: Weitere Aufgaben zur gleichmäßigen Konvergenz von Funktionenreihen
In der Hoffnung, dass du nicht die Geduld mit mir verlierst, werde ich mal schildern, wie ich das bisher verstehe:

Zu 1):
Wenn ich über die Ableitung einen Wert für ein mögliches Maximum errechnet habe, muss ich prüfen, ob dieser Wert innerhalb des auf gleichmäßige Konvergenz zu untersuchenden Intervalls liegt.
Dazu prüfe ich in diesem Fall, da es kein "fester Wert" ist, $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0 \end{eqnarray*}$ .
Der kleinste Wert des Intervalls ist aber a mit $\begin{eqnarray*} a \geq 0 \end{eqnarray*}$ .
An dieser Stelle bin ich unsicher: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} \to 0 \end{eqnarray*}$ relativ schnell, aber dennoch liegen seeehr viele Werte über 0 und somit im Intervall. Ich nehme an, das meintest du mit "endlich vielen Ausnahmen"?

Für den Fall, dass die errechnete Extremstelle nicht im Intervall liegt, habe ich mir überlegt:
Der Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{nx}{1+n^4x^2} \end{eqnarray*}$ wird am größten, wenn der Nenner möglichst klein ist. Dies ist der Fall, wenn x möglichst klein ist, da es im Nenner - im Gegensatz zu x im Zähler - quadratisch wächst. Der kleinste Wert des Intervalls ist a, daher ist das Supremum der Folge: $\begin{eqnarray*} \frac{na}{1+n^4a^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{na}{1+n^4a^2} \end{eqnarray*}$ konvergiert "normal" (leicht erkennbar durch Vergleich mit $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ ).
Somit gilt nach dem Weierstraßschen Konvergenzkriterium, dass die ursprüngliche Reihe gleichmäßig konvergiert. Richtig so?

Zu 2):
Wenn ich auch hier wieder die Extremstelle überprüfe: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{3^n\pi} = 0 \end{eqnarray*}$ , und dieselbe Argumentation wie oben anwende, gilt auch hier:
$\begin{eqnarray*} \sup |2^n \sin(\frac{1}{3^nx})| = 2^n\sin(\frac{1}{3^na}) \end{eqnarray*}$

Allerdings ist es mir bisher nicht gelungen, die Konvergenz der zugehörigen Reihe nachzuweisen.

Außerdem habe ich mich noch an deinem Tipp versucht, die Folge zu erweitern und so zu "betrachten". Allerdings war das einzig Vernünftige, was mir einfiel, auch hier wieder eine Grenzwertbetrachtung. Bei der Gelegenheit konnte ich auch den der Aufgabe beiliegenden Hinweis anwenden, und das Ganze ergab dann eine Nullfolge.
Nur ist mir noch nicht klar geworden, wie mir das weiterhilft.

07.06.2019, 10:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von Chaotica
Der Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{nx}{1+n^4x^2} \end{eqnarray*}$ wird am größten, wenn der Nenner möglichst klein ist. Dies ist der Fall, wenn x möglichst klein ist, da es im Nenner - im Gegensatz zu x im Zähler - quadratisch wächst.

Auf diese wacklige Weise solltest du nicht argumentieren - und du hast es doch auch gar nicht nötig: Wie hast du denn ermittelt, dass $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ die Maximumstelle ist? Doch sicher durch Differentation der Funktion $\begin{eqnarray*} f_n(x) = \frac{nx}{1+n^4x^2} \end{eqnarray*}$ , mit Ergebnis $\begin{eqnarray*} f_n'(x) = n\frac{1-n^4x^2}{(1+n^4x^2)^2} \end{eqnarray*}$ . Dann nutze doch diese dir bereits vorliegende Information für eine seriösere Argumentation: Dieser Ableitung sieht man an, dass $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$

a) für $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend und

b) für $\begin{eqnarray*} x\geq \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend ist.

Somit hat man für die nur endlich vielen Fälle mit $\begin{eqnarray*} a<\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ , umgestellt $\begin{eqnarray*} n < \frac{1}{\sqrt{a}} \end{eqnarray*}$ , ein Maximum bei $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ mit Maximumwert $\begin{eqnarray*} f_n\left(\frac{1}{n^2}\right) = \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ . Im Fall $\begin{eqnarray*} a > \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ hingegen liegt man voll in Fall b), also dem streng monoton fallenden Bereich, hier ist das Maximum am linken Randpunkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ des Definitionsbereichs mit Wert $\begin{eqnarray*} f_n(a) = \frac{na}{1+n^4a^2} \end{eqnarray*}$ .

Bei 2) hätte ich einen anderen Hinweis gegeben, nämlich $\begin{eqnarray*} |\sin(h)| < h \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} h>0 \end{eqnarray*}$ statt nur des Grenzwertes. Geht zwar auch mit dem Grenzwert, aber so ist es doch erheblich handlicher in Hinblick Abschätzung nach oben.

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07.06.2019, 10:58

klarsoweit

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RE: Weitere Aufgaben zur gleichmäßigen Konvergenz von Funktionenreihen
Von mir noch ein paar Zusätze:

Zitat:

Original von Chaotica
Dazu prüfe ich in diesem Fall, da es kein "fester Wert" ist, $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Besser: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_e(n) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0 \end{eqnarray*}$ , wobei x_e(n) das von n abhängige Extremum ist.

Zitat:

Original von Chaotica
Der kleinste Wert des Intervalls ist aber a mit $\begin{eqnarray*} a \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Nochmal zur Klarstellung: das a ist echt größer als Null! Für a=0 funktionieren die ganzen Argumente nicht. smile

smile

Zitat:

Original von Chaotica
An dieser Stelle bin ich unsicher: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} \to 0 \end{eqnarray*}$ relativ schnell, aber dennoch liegen seeehr viele Werte über 0 und somit im Intervall. Ich nehme an, das meintest du mit "endlich vielen Ausnahmen"?

Im Prinzip ja, aber statt "seeehr viel" ist eher der Ausdruck "fast alle" gebräuchlich.

Zitat:

Original von Chaotica
Wenn ich auch hier wieder die Extremstelle überprüfe: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{3^n\pi} = 0 \end{eqnarray*}$ , und dieselbe Argumentation wie oben anwende, gilt auch hier:
$\begin{eqnarray*} \sup |2^n \sin(\frac{1}{3^nx})| = 2^n\sin(\frac{1}{3^na}) \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} \sup |2^n \sin(\frac{1}{3^nx})| = 2^n \cdot |\sin(\frac{1}{3^na})| \end{eqnarray*}$

Hier kannst du dann die von HAL 9000 erwähnte Ungleichung verwenden. Das ist in der Tat leichter als die Sache mit dem Grenzwert.

07.06.2019, 16:34

Chaotica

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RE: Weitere Aufgaben zur gleichmäßigen Konvergenz von Funktionenreihen
Wow, so langsam nimmt die Sache endlich Gestalt an. Sogar in meinem Kopf. Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von klarsoweit

Besser: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_e(n) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0 \end{eqnarray*}$ , wobei x_e(n) das von n abhängige Extremum ist.

Super Idee! Das x alleine sah für mich auch erstmal seltsam aus. Aber das erschien mir minder wichtig als die anderen Probleme. Ups

Ups

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Chaotica
Der kleinste Wert des Intervalls ist aber a mit $\begin{eqnarray*} a \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Nochmal zur Klarstellung: das a ist echt größer als Null! Für a=0 funktionieren die ganzen Argumente nicht. smile

smile

Ganz klar! Wieder so ein dummer Flüchtigkeitsfehler. Aber keine Sorge, nur beim Schreiben! In Gedanken stand da immer $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ ! Hab nur versehentlich

code:
1:	\geq

verwendet, entschuldige bitte. Ups

Ups

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Chaotica
An dieser Stelle bin ich unsicher: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} \to 0 \end{eqnarray*}$ relativ schnell, aber dennoch liegen seeehr viele Werte über 0 und somit im Intervall. Ich nehme an, das meintest du mit "endlich vielen Ausnahmen"?

Im Prinzip ja, aber statt "seeehr viel" ist eher der Ausdruck "fast alle" gebräuchlich.

Stimmt.

smile

Ich wollte auch eigentlich auf etwas anderes hinaus:
Wenn a>0 sein soll, aber eben fast alle Werte von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} >0 \end{eqnarray*}$ sind, dann gilt doch für alle diese Werte von a, also $\begin{eqnarray*} 0<a\leq \frac{1}{n^2}: sup = \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ , und die zugehörigen Reihe divergiert.
Somit gilt doch, genau genommen, mein jetziger Nachweis der gleichmäßigen Konvergenz über $\begin{eqnarray*} sup=\frac{na}{1+n^4a^2} \end{eqnarray*}$ nur $\begin{eqnarray*} \forall a>\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ und nicht für a>0?

Zitat:

Original von klarsoweit
Richtig ist: $\begin{eqnarray*} \sup |2^n \sin(\frac{1}{3^nx})| = 2^n \cdot |\sin(\frac{1}{3^na})| \end{eqnarray*}$

Oh, danke! Ich Dappes hatte tatsächlich übersehen, dass ich hier die Betragsstriche nicht einfach weglassen kann, da die Sinusfunktion auch negative Werte ergibt. Ups

Ups

Zitat:

Original von klarsoweit
Hier kannst du dann die von HAL 9000 erwähnte Ungleichung verwenden. Das ist in der Tat leichter als die Sache mit dem Grenzwert.

+
@ Hal: Super, danke! Auch für die Erklärungen mit der Ableitung. (Ich brauche wohl noch viel Übung mit dem Finden von Suprema.)

Also bei der zweiten Aufgabe sieht es bei mir nun folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_e(n) = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{3^n\pi} = 0 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} f'_n(x)<0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>\frac{2}{3^n\pi} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \sin(h)<h \end{eqnarray*}$ für h>0

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sup |f_n(x)|= 2^n\cdot|sin(\frac{1}{3^na})| \\< 2^n\cdot|\frac{1}{3^na} \\= \frac{2^n}{3^na} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} \sum_{n=0}^\infty (\frac{2}{3})^n < \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Nach dem Weierstraßschen Majorantenkriterium konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty 2^n\cdot \sin(\frac{1}{3^nx}) \end{eqnarray*}$ demnach gleichmäßig (zumindest für $\begin{eqnarray*} a>\frac{2}{3^n\pi} \end{eqnarray*}$ ).

09.06.2019, 14:03

klarsoweit

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RE: Weitere Aufgaben zur gleichmäßigen Konvergenz von Funktionenreihen

Zitat:

Original von Chaotica
Ich wollte auch eigentlich auf etwas anderes hinaus:
Wenn a>0 sein soll, aber eben fast alle Werte von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} >0 \end{eqnarray*}$ sind, dann gilt doch für alle diese Werte von a, also $\begin{eqnarray*} 0<a\leq \frac{1}{n^2}: sup = \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ , und die zugehörigen Reihe divergiert.
Somit gilt doch, genau genommen, mein jetziger Nachweis der gleichmäßigen Konvergenz über $\begin{eqnarray*} sup=\frac{na}{1+n^4a^2} \end{eqnarray*}$ nur $\begin{eqnarray*} \forall a>\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ und nicht für a>0?

Hier hast du wieder einen Denkfehler. Für alle n gilt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} >0 \end{eqnarray*}$ . Die Frage ist aber, wie deren Lage zu der Zahl a ist. Und hier gilt, daß (wenn überhaupt) nur endlich viele $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ größer als a sind. So ist für a = 2 kein einziger der Brüche $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ größer als a, und für a=1 gerade mal einer. Anders gesagt: für fast alle n ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} < a \end{eqnarray*}$ . Und bei einer Reihe haben endlich viele Summanden keinen Einfluß auf das Konvergenzverhalten. smile

smile

Zitat:

Original von Chaotica
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Nach dem Weierstraßschen Majorantenkriterium konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty 2^n\cdot \sin(\frac{1}{3^nx}) \end{eqnarray*}$ demnach gleichmäßig (zumindest für $\begin{eqnarray*} a>\frac{2}{3^n\pi} \end{eqnarray*}$ ).

Auch hier setzt sich der Denkfehler fort. Die gleichmäßige Konvergenz liegt vor auf jedem Intervall [a, unendlich) mit a > 0.

09.06.2019, 19:22

Chaotica

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RE: Weitere Aufgaben zur gleichmäßigen Konvergenz von Funktionenreihen
Also ich könnte verstehen, wenn du langsam mit mir die Geduld verlierst - denn ich verstehe es leider immer noch nicht. unglücklich

unglücklich

Jede einzelne Aussage für sich genommen verstehe ich. Aber es gelingt mir einfach nicht, den logischen Zusammenhang herzustellen und daraus eine Aussage über die Reihe bzw. deren gleichmäßiger Konvergenz zu machen.

Nachdem ich jetzt fast 5h lang darüber gegrübelt habe, habe ich eigentlich nur noch mehr Fragen und Wirrwarr in meinem Kopf. unglücklich

unglücklich

10.06.2019, 10:15

klarsoweit

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RE: Weitere Aufgaben zur gleichmäßigen Konvergenz von Funktionenreihen
Ich würde dir ja gerne helfen, wenn du einigermaßen sagen könntest, wo dein Verständnisproblem ist. Vielleicht hilft es, wenn du das einfach mal mit einem konkreten Wert für a rechnest. Setze mal a=1 und rechne das durch. Dann nimmst du a = 1/10 und rechne nochmal.

10.06.2019, 19:05

Chaotica

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RE: Weitere Aufgaben zur gleichmäßigen Konvergenz von Funktionenreihen
Ja, meist ist schon das mein erstes Problem: Dass ich nicht richtig erfassen kann, was genau ich eigentlich gerade nicht verstehe.

Ich habe jetzt versucht, umzusetzen, was du mir aufgetragen hast:

Setze a=1. Dann habe ich
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{nx}{1+n^4x^2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in [1;\infty) \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich nun einfach a=1 in meine Funktionenreihe einsetze, erhalte ich
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{1+n^4} < \infty \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ verhält es sich genauso. Ebenso für $\begin{eqnarray*} a= \frac{1}{100}; \frac{1}{2}; 2 \end{eqnarray*}$ usw..
Mit anderen Worten: Egal, welches x>0 ich einsetze, die "normale" Konvergenz der Reihe bleibt dabei gegeben.
So weit ist mir erstmal noch alles klar. Freude

Freude

Jetzt wusste ich aber nicht so recht weiter. Also habe ich versucht, herauszufinden, wo bei mir das Chaos mit dem a anfing.

Ableiten der Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{nx}{1+n^4x^2} \end{eqnarray*}$ ergab zuvor bereits $\begin{eqnarray*} g'(x)= \frac{n-n^5x2}{(1+n^4x^2)^2} \end{eqnarray*}$ .
Daraus ergab sich wiederum die Extremstelle $\begin{eqnarray*} x_e(n)=\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ und auch
$\begin{eqnarray*} g'(\frac{1}{n2}+h)<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g'(\frac{1}{n2}-h)>0 \end{eqnarray*}$ .

Demnach müsste die Funktionenfolge für alle Werte von x, für die $\begin{eqnarray*} x_e(n)=\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ erfüllt ist, ein Maximum annehmen.
Also müssten all die Folgen, für welche $\begin{eqnarray*} x_e(n)=\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ gilt, diejenigen sein, die die größten Werte innerhalb der Funktionenfolge annehmen?

Wenn nun im Augenblick a=1 ist, so wäre die einzige Folge, für die diese Bedingung erfüllt sein könnte, die mit x=a=1, denn dann gilt:
$\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{n^2} \quad \Rightarrow \quad 1=\frac{1}{n^2} \quad \Leftrightarrow \quad n=1 \end{eqnarray*}$

Aber für z.B. x=4 gilt:
Da $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sein muss, kann nur $\begin{eqnarray*} 0<\frac{1}{n^2}<1 \end{eqnarray*}$ gelten, und somit kann $\begin{eqnarray*} 4=\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ niemals erfüllt werden.

Wenn nun jedoch $\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ ist, erhalte ich 3 Werte von x, also 3 Folgen, welche die Bedingung erfüllen, nämlich:
$\begin{eqnarray*} n=1 \Rightarrow \frac{1}{1^2}=1={x_e}_1 \\ n=2 \Rightarrow \frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}={x_e}_2 \\ n=3 \Rightarrow \frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}={x_e}_3 \end{eqnarray*}$

Doch für alle anderen Werte von x wäre die Bedingung wieder nicht erfüllt. Für alle x>0 ist es oben schon klar geworden, bleiben noch alle $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10}\leq x<1 \quad mit \, x \neq\frac{1}{4}; \frac{1}{9} \end{eqnarray*}$ , z.B. $\begin{eqnarray*} x=a=\frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{n^2} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{10}=\frac{1}{n^2} \quad \Leftrightarrow \quad n^2=10 \end{eqnarray*}$
Da aber $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sein muss, hat diese Gleichung keine Lösung. Auch das ist klar.

Für $\begin{eqnarray*} a \to 0; a>0 \end{eqnarray*}$ erhalte ich also einerseits mehr Extremstellen, aber andererseits noch mehr Folgen, für die diese Gleichung nicht erfüllt werden kann.

1) Im Augenblick weiß ich an dieser Stelle bzw. mit diesen "Erkenntnissen" (sofern es denn solche sind) noch nicht weiter.

2) Eine fiese Stimme in meinem Kopf fragt mich dauernd, wie ich überhaupt feste, von n abhängige Werte für x angeben kann, wenn n doch eine Laufvariable ist, die nicht anhält? verwirrt

verwirrt

Ich glaube, ich muss jetzt erstmal etwas gegen meinen knurrenden Magen unternehmen und mich danach wieder mit Stochastik beschäftigen - in der Hoffnung, dass ich da weniger Unsinn verzapfe. Hammer

Hammer

10.06.2019, 21:58

klarsoweit

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RE: Weitere Aufgaben zur gleichmäßigen Konvergenz von Funktionenreihen

Zitat:

Original von Chaotica
Demnach müsste die Funktionenfolge für alle Werte von x, für die $\begin{eqnarray*} x_e(n)=\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ erfüllt ist, ein Maximum annehmen.

Bleiben wir an dieser Stelle stehen. Im Grunde werden ja folgende Funktionen betrachtet: $\begin{eqnarray*} g_n(x) := \frac{nx}{1+n^4x^2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in [a;\infty) \end{eqnarray*}$ . Die Funktion f(x) ist dann die Summe davon über alle n.

Jetzt geht es ja um das Supremum der einzelnen Funktionen. Wir wissen nun, daß diese Funktionen an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_e(n) = \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ ein lokales Maximum haben. Aber, und jetzt kommt das große "aber", wir müssen natürlich auch prüfen, ob diese Extremstellen in dem betrachteten Intervall [a, unendlich) liegen. Beispielsweise liegt für a=2 keine einzige Extremstelle $\begin{eqnarray*} x_e(n) = \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ in dem Intervall [2, unendlich) . Das Supremum von g_n(x) über dem Intervall [2, unendlich) ist dann wegen der fallenden Monotonie an der linken Intervallgrenze zu finden.

Sind wir bis hierhin einig?

10.06.2019, 23:35

Chaotica

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RE: Weitere Aufgaben zur gleichmäßigen Konvergenz von Funktionenreihen
Ja, genau, bis dahin komme ich jetzt noch mit. smile

smile

11.06.2019, 09:21

klarsoweit

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RE: Weitere Aufgaben zur gleichmäßigen Konvergenz von Funktionenreihen
Nun gut. Da wir im Moment a=2 betrachten, ist somit $\begin{eqnarray*} sup_{x \in [2; \infty)} (g_n(x)) = \frac{2n}{1+4n^4} \end{eqnarray*}$ .

Da die Summe der Suprema konvergiert, haben wir gemäß dem Satz von Weierstraß gleichmäßige Konvergenz von $\begin{eqnarray*} F_n(x) := \sum_{k=1}^n g_k(x) \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall [2; unendlich).

Nun betrachten wir mal a=1. Da sieht die Sache im Prinzip genauso aus, nur daß jetzt genau ein lokales Extremum (nämlich das für n=1) exakt auf der linken Intervallgrenze von [1; unendlich) liegt. Die weiteren Extremstellen liegen aber wieder außerhalb von [1; unendlich), so daß sich die Suprema wiederum alle an der linken Intervallgrenze befinden. Wir haben somit $\begin{eqnarray*} sup_{x \in [1; \infty)} (g_n(x)) = \frac{n}{1+n^4} \end{eqnarray*}$ . Die weitere Argumentation ist analog wie oben.

Im übrigen sehen wir jetzt auch, daß diese Argumentation für alle Intervalle [a; unendlich) mit a >=1 analog funktioniert.

Nehmen wir nun mal a = 1/10 . Da gibt es 3 Funktionen, nämlich g_1(x), g_2(x) und g_3(x), bei denen die lokalen Extrema innerhalb von [1/10; unendlich) liegen. Bei allen anderen Funktionen sind die lokalen Extrema wieder außerhalb von [1/10; unendlich) . Für n >= 4 ist somit $\begin{eqnarray*} sup_{x \in [1/10; \infty)} (g_n(x)) = \frac{n/10}{1+n^4/100} \end{eqnarray*}$ . Auch hier konvergiert wieder die Summe über alle Suprema. Beachte, daß das Konvergenzverhalten von endlich vielen Summanden nicht beeinträchtigt wird, so daß wir hier problemlos die ersten 3 Summanden weglassen können und wir nur $\begin{eqnarray*} \sum_{n=4}^{\infty} \frac{n/10}{1+n^4/100} \end{eqnarray*}$ zu betrachten brauchen.

Dieses Spiel kannst du nun für alle a mit a > 0 durchführen. Immer hast du nur endlich viele Suprema innerhalb von [a; unendlich) und die restlichen Suprema sind an der linken Intervallgrenze und zwar genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} < a \end{eqnarray*}$ ist. Diese restlichen Suprema haben den Wert $\begin{eqnarray*} sup_{x \in [a; \infty)} (g_n(x)) = \frac{a \cdot n}{1+a^2 n^4} \end{eqnarray*}$ . Die restliche Argumentation funktioniert wie bei dem Beispiel a = 1/10 . smile

smile

11.06.2019, 10:42

Chaotica

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RE: Weitere Aufgaben zur gleichmäßigen Konvergenz von Funktionenreihen

Zitat:

Original von klarsoweit

Nehmen wir nun mal a = 1/10 . Da gibt es 3 Funktionen, nämlich g_1(x), g_2(x) und g_3(x), bei denen die lokalen Extrema innerhalb von [1/10; unendlich) liegen. Bei allen anderen Funktionen sind die lokalen Extrema wieder außerhalb von [1/10; unendlich) . Für n >= 4 ist somit $\begin{eqnarray*} sup_{x \in [1/10; \infty)} (g_n(x)) = \frac{n/10}{1+n^4/100} \end{eqnarray*}$ . Auch hier konvergiert wieder die Summe über alle Suprema. Beachte, daß das Konvergenzverhalten von endlich vielen Summanden nicht beeinträchtigt wird, so daß wir hier problemlos die ersten 3 Summanden weglassen können und wir nur $\begin{eqnarray*} \sum_{n=4}^{\infty} \frac{n/10}{1+n^4/100} \end{eqnarray*}$ zu betrachten brauchen.

geschockt

Finger1

Das ist es!!! Mit Zunge

Mit Zunge

Danke, es waren offenbar diese entscheidenden Zusammenhänge, die mir bisher einfach nicht einleuchteten. Aber dank deiner sehr gut nachvollziehbaren Erklärung habe ich es jetzt endlich verstanden! Tanzen

Tanzen

Vielen, vielen, vielen Dank für deine Hilfe - und für deine Geduld mit mir! Blumen

Blumen

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