Anzahl der durch 2, 3 oder 5 teilbaren natürlichen Zahlen (einschließlich Null) kleiner gleich 100?

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Anzahl der durch 2, 3 oder 5 teilbaren natürlichen Zahlen (einschließlich Null) kleiner gleich 100?
Meine Frage:
wie kann ich die Anzahl der durch 2, 3 oder 5 teilbaren natürlichen Zahlen (einschließlich Null) kleiner gleich 100 bestimmen?

Meine Ideen:
könnte man einfach zählen? XD
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Bis 100 geht zählen noch ganz gut, bis 1000000 wir das lästig. Du weißt bestimmt, wie viele Zahlen bis 100 durch 2 teilbar sind. Darauf kann man aufbauen, du musst nur aufpassen, dass du die teilbaren Zahlen nicht mehrfach zählst. Mehrfachzählung vermeidet man z.B. wenn man bedenkt, dass die durch 2 und 3 teilbaren Zahlen durch 6 teilbar sind. Wenn du das Verfahren entwickelt hast, hätte ich gerne deine Ergebnisse für 100, 1000000 und wenn es geht für jede beliebige natürliche Zahl.
 
 
[email protected] Auf diesen Beitrag antworten »

a. 0 ist durch 2, 3, 5 teilbar => 1 (passt für alle Teiler)

Für Zahlen von 1 bis 100:

b. Durch 2 teilbar => 50
c. Durch 3 teilbar => 33
d. Durch 5 teilbar => 20

Summe wäre 103, aber wir hätten dabei einige mehrfach gezählt, diese müssen bestimmt werden.

Alle geraden Zahlen aus c und d sind schon in b enthalten
=> Aus c fallen 16 weg
=> Aus d fallen 25 weg

Damit wird:
b. Durch 2 teilbar => 50
c. Durch 3 teilbar => 17 (nur ungerade)
d. Durch 5 teilbar => 10 (nur ungerade)

Nun gibt es keine gerade doppelten mehr.
Es müssen aber noch doppelte von c und d gefunden werden:

Alle aus d, die durch 3 teilbar sind fallen raus, da sie schon in c enthalten sind
d enthält nur Zahlen mit Ziffern [0-9] als Zehner und 5 als einer.
Damit die Zahl durch 3 teilbar ist, muss die Quersumme 6 oder 9 sein.
Das trifft auf 15, 45, 75 zu. Also müssen diese 3 abgezogen werden.

Damit wird:
b. Durch 2 teilbar => 50
c. Durch 3 teilbar => 17 (nur ungerade)
d. Durch 5 teilbar => 7 (nur ungerade und nicht durch 3 teilbar)

Summe von a, b und c: 74

Die 0 passt auch (aus a), also 75 Zahlen sind durch 2, 3 oder 5 teilbar (aus dem Zahlenbereich 0-100).

???
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Abzählung ergibt 75, also hast du nichts falsch gemacht. Allgemein komme ich auf ca. Zahlen kleiner gleich , die durch 2,3 oder 5 teilbar sind. Die 0 habe ich dabei nicht berücksichtigt.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Systematisch würde ich es so aufschreiben:


Für festes betrachte man die Menge aller durch teilbaren ganzen Zahlen im Intervall .

Dann ist offenbar .

Weiter kann man sich überlegen . Dies in Kombination mit der Siebformel ergibt hier für

.

Und die Null dürfen wir nicht vergessen, die kommt noch dazu - das Ergebnis 75 ist daher richtig.

-----------------------------------------------

Das ca-Ergebnis von Elvis beruht auf der Näherung . Mit der bekommt man für paarweise teilerfremde (!) die Gesamtnäherung

.

"Näherung" heißt hier aber nicht, dass der richtige Anzahlwert gleich dem "gerundeten" Approximationswert entspricht - der Fehler kann (leider) auch größer sein. Klappt also i.a. nicht so schön wie bei der Wichtelformel.


@jadkhaddad

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