Doppelintegrale

05.06.2019, 19:40

SM!LE

Doppelintegrale

Guten Tag,

ich habe aktuell Probleme mit einer Aufgabe in der ein Doppelintegral gelöst werden soll und würde mich über Tipps freuen, da ich habe noch recht wenig Erfahrung mit der Berechnung von Doppelintegralen habe.

Die Aufgabe bestand aus 2 Teilaufgaben und eine davon konnte ich lösen, weiß nur nicht ob das Ergebnis richtig ist.
Bei der 2. Teilaufgabe hab ich leider etwas Probleme den Normalbereich korrekt zu bestimmen und daher folgt sicherlich auch mein falscher Wert für das Volumen.

Teilaufgabe a):

$\begin{eqnarray*} \underset{B}{\iint}{sin(x+y)~dxdy} \end{eqnarray*}$

wobei B durch x=0, y= $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ und y=x begrenzt wird. (Fläche siehe Anhang a)

Meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} B:=\lbrace{(x,y)\in\mathbb{R}^2:~0\leq x \leq y~,~0\leq y \leq \pi~\rbrace} \end{eqnarray*}$

Somit folgt:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\pi\int_0^y{sin(x+y)~dxdy}=\int_0^\pi{cos(y)-cos(2y)~dy}=\big[sin(y)-\frac{sin(2y)}{2}\big]_0^\pi=0 \end{eqnarray*}$

Wäre das so korrekt oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht ?

Teilaufgabe b):

$\begin{eqnarray*} \underset{B}{\iint}{\frac{x^2}{y^2}~dxdy} \end{eqnarray*}$

wobei B durch x=2, xy=1 und y=x begrenzt wird. (Fläche siehe Anhang b)

Mein Lösungsansatz:

Ich hätte den Normalbereich in diesem Fall folgendermaßen bestimmt:

$\begin{eqnarray*} B:=\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2:~1\leq x \leq 2~,~\frac{1}{x}\leq y \leq x\rbrace \end{eqnarray*}$

Denke mir aber, dass das nicht stimmen wird.
Hier hänge ich aktuell und komm nicht wirklich weiter.

Vielen Dank für eure Mühen.

Mit freundlichen Grüßen
SM!LE

Ps.: Kann man in dem, im Forum vorhandenen, Plot-Tool auch mehrere Graphen in ein Koordinatensystem plotten lassen? Wenn ja würde mich sehr interessieren wie das geht smile

05.06.2019, 20:30

Leopold

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RE: Doppelintegrale

Zitat:

Wäre das so korrekt oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht ?

Du hast alles richtig gemacht. Nun ja, beim zweiten Integral bräuchte der Integrand noch eine Klammer. Aber schon an der Schule sind Klammern den Leuten ja völlig schnuppe. Das scheint sich jetzt bis zu den Universitäten zu verbreiten. Physiker haben da sowieso eine ganz eigene Sicht der Dinge.

Zitat:

Original von SM!LE
Denke mir aber, dass das nicht stimmen wird.

Und wieso nicht?

05.06.2019, 21:04

SM!LE

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RE: Doppelintegrale
Danke für deine schnelle Hilfe.

Zitat:

Original von Leopold

Nun ja, beim zweiten Integral bräuchte der Integrand noch eine Klammer. Aber schon an der Schule sind Klammern den Leuten ja völlig schnuppe. Das scheint sich jetzt bis zu den Universitäten zu verbreiten. Physiker haben da sowieso eine ganz eigene Sicht der Dinge.

Ja ich weiß was du meinst. Auf unseren Übungsblättern und im Script sind die Klammern nicht gesetzt, deswegen hatte ich die nicht gesetzt. Ich werde mir angewöhnen, die Klammern zu setzen danke für den Hinweis.

Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von SM!LE
Denke mir aber, dass das nicht stimmen wird.

Und wieso nicht?

Ich hatte dann folgendermaßen weitergerechnet:

$\begin{eqnarray*} \int_1^2\int_{\frac{1}{x}}^x{\left(\frac{x^2}{y^2}~dy\right)dx}~=~\int_1^2{-x^3+x~dx}~=~\left[-\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}\right]_1^2~=~-\frac{9}{4} \end{eqnarray*}$

Ein Volumen von $\begin{eqnarray*} -\frac{9}{4} \end{eqnarray*}$ erschien mir komisch und deswegen ging ich davon aus, dass ich mich entweder verrechnet habe oder der Normalbereich falsch bestimmt wurde.

05.06.2019, 21:35

Leopold

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(Er hat schon wieder keine Klammer gesetzt.)

In der Rechnung hast du die Vorzeichen verdreht.

05.06.2019, 21:48

SM!LE

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Zitat:

Original von Leopold
(Er hat schon wieder keine Klammer gesetzt.)

Du meinst nicht diese $\begin{eqnarray*} \int_1^2\int_{\frac{1}{x}}^x{\color{red}\left(\color{black}\frac{x^2}{y^2}~dy\right)\color{black}dx} <br /> \end{eqnarray*}$ Klammer sondern die $\begin{eqnarray*} \int_1^2{\color{red}\left(\color{black}-x^3+x\right)\color{black}~dx} \end{eqnarray*}$ ?

Wenn ja dann muss ich gestehen, dass ich die selten setze.

Zitat:

Original von Leopold
In der Rechnung hast du die Vorzeichen verdreht.

Oh stimmt und dann komme ich auch auf $\begin{eqnarray*} \frac{9}{4} \end{eqnarray*}$ .

Vielen Dank für deine Hilfe smile

05.06.2019, 21:57

Leopold

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Zitat:

Original von SM!LE
Wenn ja dann muss ich gestehen, dass ich die selten setze.

Tu's öfter. Das verzögert das Ergrauen meiner Haare.

06.06.2019, 05:58

Dopap

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und wenn man sagt, dass $\begin{eqnarray*} \int \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ Symbole sind und dazwischen der Integrand steht verwirrt

edit: mehrere Funktionen trennt man durch Kommata (Kommas ?).

code:
1:	[plot=-2:4,-2:5]2x^2,3x,-x+1[/plot]

06.06.2019, 10:18

SM!LE

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Danke dir Dopap für den Tipp mit dem Plot-Tool.
Kannst du mir vielleicht noch verraten wie ich eine Parallele zur y-Achse plotten kann oder geht das mit dem Tool nicht?

Bei Teilaufgabe b) hätte ich ja x=2 plotten müssen und das klappt nicht, da das Plot-Tool ja nur Funktionen der Form y=mx+n nimmt oder?

06.06.2019, 10:30

HAL 9000

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Da musst du zu "parametricplot" umsteigen:

oder gar ( Big Laugh