Orthogonale Matrix

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GrünePico Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Matrix
Hallihallo,
ich sitze gerade an dieser Aufgabe und habe ein paar Probleme beim letzten teil:
Gegeben ist eine symmetrische Matrix:


a) Bestimmen Sie alle Eigenvektoren von A sowie eine orthogonale Matrix U, so dass Diagonalform besitzt.

Also die Eigenvektoren habe ich schon berechnet und komme hierbei auf:



Jetzt verstehe ich nicht genau wie ich die orthogonale Matrix bestimmen soll, eigentlich besteht diese ja aus den Eigenvektoren, Allerdings wäre das in diesem Fall irgendwie nicht orthogonal.

Wenn mir jemand helfen könnte wäre ich sehr dankbar
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RE: orthogonale Matrix
Die Spalten einer orthogonalen Matrix bilden ein orthonormal System. Also musst du die Eigenvektoren noch normieren.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Bei ist ein Vorzeichenfehler.
Man muß aus den drei Eigenvektoren eine orthogonale Basis erzeugen. (korrigiert) ist ein Eigenvektor zum Eigenwert -7. Er steht automatisch senkrecht auf , einer Basis des Eigenraums zum Eigenwert -1. Nur sind noch nicht orthogonal. Ersetze durch einen Vektor , der auch diesem Eigenraum angehört, aber senkrecht auf steht. Das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren hilft. Dann bilde aus den drei Spalten die Matrix

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Danke Leopold, du hast natürlich vollkommen recht.
GrünePico Auf diesen Beitrag antworten »

danke für eure Antworten, ja da habe ich in der Tat bei v3 ein minus vergesse ...

Also ich benutzte nun das Gram Schmidt verfahren, hierfür bekomme ich für das neue v2:


wobei das ziemlich komisch aussieht, kann das richtig sein?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Du brauchst allerdings nicht zu normieren. Multipliziere mit .
Wenn du unbedingt in der Diagonalen die Eigenwerte haben willst, dann mußt du die drei Vektoren normieren. Aber es ist ja nur eine Diagonalmatrix verlangt.
 
 
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@Leopold: U soll doch orthogonal sein?! Oder bin ich jetzt völlig auf dem Holzweg verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja! Bei mir ist das so lange her ...
Man sagt, glaube ich, "orthogonale Matrix", obwohl "orthonormale Matrix" besser wäre. Also dann doch normieren.
GrünePico Auf diesen Beitrag antworten »

ah alles klar,

muss ich dann meine beiden anderen Matrizen auch noch normieren?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Der Vorzeichenfehler ist aber auch hartnäckig ...
Beachte den Einwand von URL.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von GrünePico
... anderen Matrizen ...


... anderen Vektoren ...
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Die Spalten von U sind die orthonormierten Eigenvektoren. Dann ist D automatisch eine Diagonalmatrix mit den passenden Eigenwerten auf der Diagonale.
@Leopold: Wir werden doch vereint diese Aufgabe schaffen. Prost Big Laugh
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von URL
@Leopold: Wir werden doch vereint diese Aufgabe schaffen. Prost Big Laugh


Da bin ich mir -fast sicher.
GrünePico Auf diesen Beitrag antworten »

okay also ich hätte dann erst einmal das hier raus, allerdings ist hierbei v3 noch nicht normiert, da wäre meine Frage nun ob ich hierbei mit dem Gram Schmidt verfahren einfach auch ein neues v3 erstellen kann oder muss ich hierbei anders vorgehen?

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