Fünfeck berechnen

05.06.2019, 22:50	Soley	Auf diesen Beitrag antworten »
Fünfeck berechnen Hallo zusammen, Ich verzweifle ein wenig an einem Fünfeck. Meine Schulzeit ist auch schon ne Weile her... Es sind einige Dinge gegeben, aber ich komme nicht auf die Lösung (siehe Bild) Wenn ich z B annehme: d=10, a=5, e=5, wie komme ich dann auf die restlichen Seiten und Winkel? Es kann nur eine Lösung geben, aber die erschließt sich mir noch nicht. Danke euch schonmal!
06.06.2019, 09:06	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Fünfeck ist unterbestimmt, d.h., es fehlt eine Bedingung zur Eindeutigkeit: Sehen wir Punkt $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ sowie die Gerade $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ , auf der die Punkte $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ liegen, als fest an. Bei (zunächst) variablen Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ sind per Bedingung $\begin{eqnarray} \delta=360^{\circ}-2\alpha \end{eqnarray}$ , sowie wegen der gegebenen Seitenlängen die Kantenfolge $\begin{eqnarray} A-E-D-C \end{eqnarray}$ festgelegt. Nun ist aber (in weiten Winkelbereichen von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ) der erreichte Punkt $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ mit den angegebenen Bedingungen vereinbar: Wir müssen von dort nur noch das Lot auf die Gerade $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ fällen, schon haben wir einen passenden Punkt $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ . Von der von dir erwähnten Eindeutigkeit also keine Spur. P.S.: Allgemein kann man sagen, dass ein $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -Eck $\begin{eqnarray} 2n-3 \end{eqnarray}$ Freiheitsgrade aufweist, man also auch $\begin{eqnarray} 2n-3 \end{eqnarray}$ Bedingungen zur Festlegung des $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -Ecks braucht - das ist dann nicht immer eindeutig, aber zumindest bleiben nur endlich viele Lösungen übrig. Im Fall $\begin{eqnarray} n=5 \end{eqnarray}$ wären das 7 Bedingungen, bei dir sind es eben nur 6 (3 Längen, 2 Winkel, 1 Winkelsummenbedingung).
06.06.2019, 09:31	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fünfeck berechnen Guten Morgen, die Teile des einegfügten Bildes, welche die Parkettierung zeigen, sind m.M. nach interessanter: [attach]49328[/attach] Ich habe mit einem roten und mit einem schwarzen Kreis diejenigen Punkte markiert, wo drei gleich große Winkel einen Vollwinkel erzeugen, woraus ich schließe, dass die Winkel bei A, C und D gleich groß sind, die Winkelgröße also 120° beträgt.
06.06.2019, 09:59	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre EINE mögliche siebte Bedingung, die das ganze eindeutig macht. Allerdings sehe ich nicht, wieso die drei von dir eingekreisten Winkel nun unbedingt gleich sein sollen. Aus der alleinigen Bedingung der Kongruenz der Fünfecke im Parkett folgt dies nämlich NICHT, aus der folgt nur $\begin{eqnarray} 2\alpha+\delta=360^{\circ} \end{eqnarray}$ , da hat Soley vollkommen recht. Vielleicht spielst du ja auf die ebenfalls zur Parkettierung notwendige Winkelbedingung $\begin{eqnarray} 2\gamma+\delta=360^{\circ} \end{eqnarray}$ an? Die ist mit den obigen drei Winkelbedingungen aber schon automatisch erfüllt: $\begin{eqnarray} 2\gamma+\delta = 2(540^{\circ}-\alpha-2\cdot 90^{\circ}-\delta)+\delta = 720^{\circ}-(2\alpha+\delta) = 360^{\circ} \end{eqnarray}$ . Also KEINE Bedingung, die das ganze eindeutig macht etwa zu $\begin{eqnarray} \alpha=120^{\circ} \end{eqnarray}$ . Man bekommt lediglich die Gleichheit $\begin{eqnarray} \alpha=\gamma \end{eqnarray}$ .

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