Schnittmenge kartesischer Produkte

06.06.2019, 11:26

corporal

Schnittmenge kartesischer Produkte

$\begin{eqnarray*} (A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D) \end{eqnarray*}$

Das ist die Aufgabe. Meine Lösung ist folgende:

$\begin{eqnarray*} (a \in A \wedge b \in B) \wedge (c \in C \wedge d \in D) = (a \in A \wedge c \in C) \wedge (b \in B \wedge d \in D) \equiv a \in A \wedge b \in B \wedge c \in C \wedge d \in D = a \in A \wedge c \in C \wedge b \in B \wedge d \in D \end{eqnarray*}$

Habe ich damit die obere Aussage bewiesen?

Ich denke ich habe die Zugehörigkeit der Elemente zu den Mengen aufgeschrieben. Aber habe ich auch strukturgleichheit bewiesen?

Muss ich nicht noch zusätzlich zeigen, das die Elemente der Menge auf der linken Seite alle Zweitupel sind, und auf der rechten Seite auch?

06.06.2019, 13:00

Elvis

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RE: Schnittmenge kartesischer Produkte

Zitat:

Original von corporal
Habe ich damit die obere Aussage bewiesen?

Nein, damit ist gar nichts bewiesen.

Zitat:

Original von corporal
Ich denke ich habe die Zugehörigkeit der Elemente zu den Mengen aufgeschrieben.

Das denke ich nicht.

Zitat:

Original von corporal
Aber habe ich auch strukturgleichheit bewiesen?

Welche struktur ?

Zitat:

Original von corporal
Muss ich nicht noch zusätzlich zeigen, das die Elemente der Menge auf der linken Seite alle Zweitupel sind, und auf der rechten Seite auch?

Das muss man nicht zeigen, das ist die Definition von cartesischen Produkten.

Kurz und gut: alles falsch. Tipp: Beginne mit einem Paar (x,y) und zeige die beidseitige Teilmengeneigenschaft. Mit Äquivalenzen geschrieben ist der Beweis ein Einzeiler.

06.06.2019, 13:51

corporal

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RE: Schnittmenge kartesischer Produkte
Ok also muss ich links angeben in welcher Menge alle Tupel (x, y) sind und rechts muss das die gleiche Menge ergeben? Was meinst du mit Teilmengeneigenschaft?

06.06.2019, 14:09

klarsoweit

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RE: Schnittmenge kartesischer Produkte
1. Möglichkeit:
Zeige diese Implikationen:

$\begin{eqnarray*} (x,y) \in (A \times B) \cap (C \times D) \Rightarrow (x,y) \in (A \cap C) \times (B \cap D) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x,y) \in (A \cap C) \times (B \cap D) \Rightarrow (x,y) \in (A \times B) \cap (C \times D) \end{eqnarray*}$

2. Möglichkeit:

Fange mit $\begin{eqnarray*} (x,y) \in (A \times B) \cap (C \times D) \end{eqnarray*}$ an und zeige mit Äquivalenzumformungen die Aussage $\begin{eqnarray*} (x,y) \in (A \cap C) \times (B \cap D) \end{eqnarray*}$ .

07.06.2019, 11:12

Elvis

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Ja, genau das ist zu zeigen.

$\begin{eqnarray*} (A=B)\Leftrightarrow (x\in A\Leftrightarrow x\in B)\Leftrightarrow (x\in A\Rightarrow x\in B\wedge x\in B\Rightarrow x\in A)\Leftrightarrow (A\subseteq B\wedge B\subseteq A) \end{eqnarray*}$

In Worten: Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Die Äquivalenz in der zweiten Klammer kann man durch zwei Implikationen ersetzen, und das ergibt die beidseitige Teilmengeneigenschaft.

Das ist der Standardbeweis für Mengengleichheit:
$\begin{eqnarray*} (x\in A\Rightarrow x\in B\wedge x\in B\Rightarrow x\in A)\Rightarrow A=B \end{eqnarray*}$

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