Unit Root in Zeitreihen

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123Kartoffelbrei Auf diesen Beitrag antworten »
Unit Root in Zeitreihen
Meine Frage:

Aufgabe aus: Christensen, Ronald (1991): Linear Models for Multivariate, Time Series, and Spatial Data, Springer-Verlag: New York, S.261

Exercise 5.9.14.
Show that if all the roots of have then there exists a polynomial

with

and, for ,

Hint: Do a Taylor's expansion of about 0.


In der Aufgabenstellung wird nicht genau spezifiziert. Aus dem Kontext des Buches gehe ich jedoch davon aus, dass



gilt. Sollte die Aufgabe auch ohne diese Spezifizierung lösbar sein, weiß ich leider nicht wie.


Meine Ideen:

Durch Umstellen von De Moivre's Theorem ergeben sich die Wurzeln

wobei das Argument (Winkel) von sei. Es ist sichtbar, dass alle Nullstellen den gleichen Abstand zum Ursprung haben.

Mit Hilfe der Taylor Reihe komme ich bisher auf


was sich wegen der 1 leider nicht zu


verallgemeinern lässt. Ist also gut möglich, dass mein Zwischenergebnis falsch ist.

Immerhin wäre aber für

schonmal offensichtlich, dass

gilt, da der Nenner durch die Fakultät beständig wächst.

Das ist bisher mein Stand der Dinge. Ich verstehe nicht, wie die Aussagen mit den komplexen Wurzeln zusammenhängen, und wie ich entsprechend weiter machen soll.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unit Root in Zeitreihen
Zitat:
Original von 123Kartoffelbrei
Mit Hilfe der Taylor Reihe komme ich bisher auf


was sich wegen der 1 leider nicht zu


verallgemeinern lässt. Ist also gut möglich, dass mein Zwischenergebnis falsch ist.


Ich bin nicht ins Detail gegangen. Aber wenn du definierst, so ist
,
123Kartoffelbrei Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unit Root in Zeitreihen
Danke für die Idee. Ich bin mir aber mittlerweile ziemlich sicher, dass ich mich bei der Taylor Reihe schlicht verrechnet habe. Ich rechne nochmal etwas herum, in der Hoffnung auf ein besseres Ergebnis. Dafür bräuchte ich aber noch etwas Zeit traurig

Da ich mich mit der Mathematik hinter der Taylor Reihe nicht auskenne (hatte nur die Formel gefunden und (falsch) angewendet) würde mich Interessieren, ob es für



eine allgemein bekannte Form in der Taylor Polynom Schreibweise gibt? Der Term wird ja auf den ersten Blick durch das Ableiten sehr schnell sehr kompliziert.
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