Lineare Unabhängigkeit über dem Restklassenkörper (Gauß-Algo)

06.06.2019, 21:20	Kleiner_Gauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit über dem Restklassenkörper (Gauß-Algo) Guten Abend, das Rechnen mit Restklassen ist nicht so meins, aber ich habe hier eine Aufgabe, die mit dem Gauß-Algorithmus zu lösen ist. Könntet ihr bitte einmal schauen, wo mein Fehler liegt? Die Aufgabe lautet wie folgt: Sind die Vektoren $\begin{eqnarray} b_1=(3,2,11),b_2=(1,1,2),b_3=(9,8,6) \end{eqnarray}$ im Standardvektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb{F_17)^3} \end{eqnarray}$ linear unabhängig? Wäre dies über dem Körper der reellen Zahlen, so sind die drei Vektoren linear unabhängig. Das habe ich geprüft. Aber bei den Restklassen tue ich mich etwas schwer. Hier einmal meine Rechnung: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 11 \\ 1 & 1 & 2 \\ 9 & 8 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ~ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 16 & 5 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 16 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da die 1. und 3. Zeile identisch sind. Ist der Rang dieser Matrix nicht voll, d.h. $\begin{eqnarray} dim(\mathbb{F_17}^3) =3 \neq rank(A)=2 \Rightarrow \end{eqnarray}$ . Daraus folgt, dass die drei Vektoren keine Basis bilden und somit linear abhängig sind. Irgendwie kann ichs nicht so ganz glauben, dass die Vektoren in Q / R linear unabhängig sind und im endlichen Primkörper nicht. Dankeschön für eure Bemühungen.
06.06.2019, 21:48	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit über dem Restklassenkörper (Gauß-Algo) Ich habe das nicht nachgerechnet, aber det(A)=-17, also Null

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