Äquivalenz von Normen

07.06.2019, 21:23

Takota

Äquivalenz von Normen

Hallo! Ich habe einen Beweis zu dem Satz: Alle Normen auf R^n sind äquivalent vorliegen.

Ich zitiere mal den Anfang den ich leider schon nicht verstehe:

Beweis: " Es genügt zu zeigen, dass jede gegebene Norm ||.|| zur Maximumsnorm ||.|-infy äquivalent ist."

Warum genügt es das zu zeigen? Kann mir das bitte jemand genau erläutern?

LG
Takota

07.06.2019, 22:14

Elvis

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Aequivalent sein ist eine Aequivalenzrelation auf der Menge der Normen. Wenn alle zu einer bestimmten Norm aequivalent sind, gibt es nur eine Aequivalenzklasse, also sind alle Normen aequivalent.

08.06.2019, 10:03

Takota

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Hallo Elvis,
danke für die Rückmeldung, jetzt weiß ich schon mal, in welche Richtung die Antwort geht. Augenzwinkern

Ich habe nochmal nachgelesen was eine Relation und Äquivalenzklasse ist. Es happert bei mir leider noch an der Umseztung auf mein Problem.

Im Beweis wird gezeigt, das jede gegebene Norm (Xi) zur Maximumsnorm (Mi) äquivalent ist.

Die Relation heißt hier also: Xi ist äquivalent zu Mi ?

Jetzt müsste man wohl die Eigenschaften prüfen:

1) Reflexiv

2) Symmetrisch

3) Transitiv

Oder vielleicht kannst du mir einfach deine Schlußfolgerungen noch ein bisschen weiter aufdröseln / erklären? Bis jetzt weiß ich ja nur: "...das jede gegebene Norm (Xi) zur Maximumsnorm (Mi) äquivalent ist. "

LG
Takota

08.06.2019, 11:19

Elvis

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Reflexiv: Jede Norm N ist zu sich selbst äquivalent.
Symmetrisch: Ist die Norm N äquivalent zur Norm M, dann ist die Norm M äquivalent zur Norm N.
Transitiv: Ist die Norm N äquivalent zur Norm M und die Norm M äquivalent zur Norm O, dann ist die Norm N äquivalent zur Norm O.

Das alles versteht sich von selbst, wenn man zwei Normen genau dann äquivalent nennt, wenn sie identische Konvergenzbegriffe erzeugen. Reflexiv: N erzeugt denselben Konvergenzbegriff wie N. (was denn sonst ?) Genauso für Symmetrie und Transitivität.

Wenn also jede Norm zur MaxNorm X äquivalent ist, dann gilt für je 2 Normen N und M: N äq X und M äq X, also N äq X und X äq M (Symmetrie), also N äq M (Transitivität). Das ist genau die Aussage des Satzes, je zwei Normen sind äquivalent.

08.06.2019, 11:29

IfindU

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@Elvis
Ich nehme mal nicht, dass Takota annehmen darf, dass Äquivalenz von Normen eine Äquivalenzrelation bildet.

@Takota

Du hast zwei Normen $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_1, \| \cdot \|_2 \end{eqnarray*}$ und willst zwei Aussagen zeigen:
a) Es existiert $\begin{eqnarray*} c > 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_1 \leq c \| \cdot \|_2 \end{eqnarray*}$ und
a) Es existiert $\begin{eqnarray*} C > 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_2 \leq C \| \cdot \|_1 \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_\infty \end{eqnarray*}$ die Maximumsnorm.
Zur ersten Aussage: Du weisst, dass $\begin{eqnarray*} c_1 >0 \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_1 \leq c_1 \| \cdot \|_\infty \end{eqnarray*}$ und, dass $\begin{eqnarray*} c_2 > 0 \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_\infty \leq c_2 \| \cdot\|_2 \end{eqnarray*}$ . Das muss man nur noch kombinieren.

08.06.2019, 20:11

Takota

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Zitat:

Original von IfindU
@Elvis
Ich nehme mal nicht, dass Takota annehmen darf, dass Äquivalenz von Normen eine Äquivalenzrelation bildet.

@Takota

Du hast zwei Normen $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_1, \| \cdot \|_2 \end{eqnarray*}$ und willst zwei Aussagen zeigen:
a) Es existiert $\begin{eqnarray*} c > 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_1 \leq c \| \cdot \|_2 \end{eqnarray*}$ und
a) Es existiert $\begin{eqnarray*} C > 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_2 \leq C \| \cdot \|_1 \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_\infty \end{eqnarray*}$ die Maximumsnorm.
Zur ersten Aussage: Du weisst, dass $\begin{eqnarray*} c_1 >0 \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_1 \leq c_1 \| \cdot \|_\infty \end{eqnarray*}$ und, dass $\begin{eqnarray*} c_2 > 0 \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_\infty \leq c_2 \| \cdot\|_2 \end{eqnarray*}$ . Das muss man nur noch kombinieren.

08.06.2019, 20:28

Takota

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Zitat:

Hallo IfindU, danke für die Rückmeldung.

Ich denke du hast ein Tippfehler: Die zweite Zeile soll wohl b) .... sein?
Muss es bei b) nicht heißen:

Es existiert $\begin{eqnarray*} C > 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C \| \cdot \|_2 \leq \| \cdot \|_1 \end{eqnarray*}$ ?

Kannst du mir bitte die Kombination zeigen, damit man folgendes erhält:

$\begin{eqnarray*} C \| \cdot \|_2 \leq \| \cdot \|_1 \leq c \| \cdot \|_2 \end{eqnarray*}$

Gruß
Takota

08.06.2019, 20:55

IfindU

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Stimmt, das eine a) sollte b) sein.

Dann mal eine Ungleichung
$\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_1 \leq c_1 \|\cdot \|_\infty \leq c_1 (c_2 \| \cdot \|_2) = c_1 c_2 \| \cdot \|_2 \end{eqnarray*}$ . Definiert man $\begin{eqnarray*} c := c_1 \cdot c_2 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} c > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \| \cdot \| \leq c \| \cdot \|_2 \end{eqnarray*}$ .

Zu der Frage:

Zitat:

Muss es bei b) nicht heißen:

Es existiert $\begin{eqnarray*} C > 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C \| \cdot \|_2 \leq \| \cdot \|_1 \end{eqnarray*}$ ?

Kann es. Deine und meine Aussagen sind äquivalent (bloss nicht mit der gleichen Konstanten $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ).

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