Komplexe Gleichung (Kreisteilungsgleichung)

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Gee Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Gleichung (Kreisteilungsgleichung)
Meine Frage:
Hi,
Ich hab versucht die folgende frage zu lösen==>

Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung (z+i)^3 = (3i-2)/(3+2i) im Körper der komplexen Zahlen
Und stellen Sie die Lösungen in Gaußschen Zahlenebene grafisch dar.

Meine Ideen:
Ich hab mit der konjugierten multipliziert

(Z+i)^3=((3i-2)(3-2i))/((3+2i).(3-2i)

Dann habe ich (z+i)^3=i . Ich habe keine Ahnung ,wie ich weiter rechnen soll.

Danke im Voraus
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Setze und bestimme die 3 Wurzeln der Gleichung .
kubaisi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Setze und bestimme die 3 Wurzeln der Gleichung .


soll ich die Polardarstellung benutzen? oder einfach

W=i ^(1/3) einsetzen

können Sie bitte mehr erklären oder ausführlich lösen

vielen dank

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Viele Grüße
Steffen
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Sogenannte "reine" Gleichungen haben die Form , und ihre Lösungen liegen auf einem Kreis um mit dem Radius , und sie bilden dort ein regelmäßiges -Eck. Wenn man eine Wurzel berechnen kann, kann man also geometrisch alle anderen berechnen. In diesem Beispiel gilt , also ist eine Lösung, daher sehen alle Wurzeln der reinen Gleichung so aus:
kubaisi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Sogenannte "reine" Gleichungen haben die Form , und ihre Lösungen liegen auf einem Kreis um mit dem Radius , und sie bilden dort ein regelmäßiges -Eck. Wenn man eine Wurzel berechnen kann, kann man also geometrisch alle anderen berechnen. In diesem Beispiel isteine Lösung, also sehen alle Wurzeln der reinen Gleichung so aus:



Um die anderen 2 Punkten zu zeichnen(bestimmen) , braucht man eigentlich eine Gleichung, die so aussieht

z= a + bi .A liegt auf x bzw auf (Re) achse , B liegt auf y bzw (Im) achse . Der erste Punkt ,der wir gerechnet haben ,ist (i). Wie sieht die Gleichung der anderen 2 Punkten aus? und wie kriegt man diese Gliechung!? es tut mir leid , dass ich eine solche dumme Frage stelle, aber muss auf die nächste Klausur vorbereiten.

Danke sehr.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das Bild habe ich beigefügt, um es dir möglichst einfach zu machen. Wenn du Geometrie nicht so gern hast und kein gleichseitiges Dreieck im Einheitskreis mit einem Eckpunkt bei berechnen möchtest, dann gibt es auch andere Möglichkeiten. Besonders bequem ist hier der Weg über Polarkoordinaten. Der Betrag auf dem Einheitskreis ist immer , deshalb heißt der Kreis so. Du musst nur noch zum Argument zwei mal den Winkel modulo addieren. Das sieht man auf den 1. Blick, weil der volle Kreis ist.
 
 
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