Wahrscheinlichkeit Kopf-Kopf-Münze

08.06.2019, 13:47

eroy

Wahrscheinlichkeit Kopf-Kopf-Münze

Hallo zusammen,

wer könnte mir bitte mit dem folgenden Problem helfen?

Ich habe n-1 faire Münzen, und die letzte Münze hat auf beiden Seiten Kopf. Wir nehmen eine beliebige Münze aus diesen n Münzen und werfen sie k Mal. Alle k Male kommt Kopf. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir wir die Kopf-Kopf-Münze erwischt haben?

Einige Beispiele:

n = 3, k = 2 => p = 0.666667
n = 3, k = 1 => p = 0.5
n = 1, k = 10 => p = 1.0

Danke für jeden Rat!

08.06.2019, 14:14

Chaotica

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung
Hm, ich stehe in Stochastik ja noch am Anfang, aber für mich liest sich das so:

Du hast n Münzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du daraus eine bestimmte Münze aufnimmst?
Und da diese Münze hier einzigartig in n ist, wäre meine Antwort: $\begin{eqnarray*} P(uM)=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , uM = unfaire Münze.

08.06.2019, 14:20

klauss

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung
@eroy:
Deine beiden ersten "Beispiele" (den Fall n=1 lasse ich außen vor) stimmen mit meiner Lösungsformel überein. Da Du die Aufgabe als Frage gestellt hast: Waren Dir diese Werte vorgegeben oder hast Du sie selbst gefunden, wenn ja, wie? - Das könnte ja Deine Frage schon beantworten.

08.06.2019, 14:25

eroy

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zitat:

Original von klauss
@eroy:
Deine beiden ersten "Beispiele" (den Fall n=1 lasse ich außen vor) stimmen mit meiner Lösungsformel überein. Da Du die Aufgabe als Frage gestellt hast: Waren Dir diese Werte vorgegeben oder hast Du sie selbst gefunden, wenn ja, wie? - Das könnte ja Deine Frage schon beantworten.

Diese Beispiele wurden vorgegeben..

08.06.2019, 14:41

eroy

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zitat:

Original von Chaotica
Hm, ich stehe in Stochastik ja noch am Anfang, aber für mich liest sich das so:

Du hast n Münzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du daraus eine bestimmte Münze aufnimmst?
Und da diese Münze hier einzigartig in n ist, wäre meine Antwort: $\begin{eqnarray*} P(uM)=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , uM = unfaire Münze.

Danke Chaotica für deinen Beitrag, aber die Beispiele stimmen dann nicht..

08.06.2019, 14:52

klauss

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung
Dann leite ich das mal wie folgt her:

Seien die Ereignisse
$\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ : eine faire Münze wird ausgewählt
$\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ : mit der gewählten Münze wird k-mal Kopf geworfen
$\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ : Nach Auswahl einer Münze erhält man k-mal Kopf
Dann ist
$\begin{eqnarray*} P(E)=P\left[\left(F\cap K\right)\cup \left(\overline{F}\cap K\right) \right] = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =P(F)\cdot P_{F}(K)+P(\overline{F})\cdot P_{\overline{F}}(K) = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{n-1}{n}\left(\frac{1}{2} \right) ^{k}+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Gesucht ist:
$\begin{eqnarray*} P_{E}\left(\overline{F}\right) =\frac{P\left(E\cap \overline{F}\right) }{P(E)}=\frac{P\left(\overline{F} \cap E\right) }{P(E)}= \frac{\frac{1}{n} \cdot 1}{\frac{n-1}{n}\left(\frac{1}{2} \right) ^{k}+\frac{1}{n} } = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{(n-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{k} +1 } \end{eqnarray*}$

Ein bißchen schlechtes Gewissen habe ich dabei allerdings, falls ich Dir damit Deine Hausaufgabe komplett gelöst habe.

08.06.2019, 15:16

eroy

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung
Vielen Dank Dir, klauss für Deinen sehr gut verständlichen und ausführlichen Beitrag! Es sieht immer alles einfach aus, wenn man die Antwort sieht, aber leider nicht davor :-(

Danke für das Lob; Komplettzitat habe ich aber entfernt.
klauss

08.06.2019, 15:32

klauss

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung
Vielleicht noch 2 Anmerkungen:
1) Nach obiger Formel ist auch klar, dass sich P(E) mit wachsendem n asymptotisch $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{2} \right) ^{k} \end{eqnarray*}$ annähert.
2) Der Fall n=1 setzt natürlich voraus, dass nur die Kopf-Kopf-Münze selbst vorliegt.

11.06.2019, 09:24

HAL 9000

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ich würde noch ergänzen:

3) Das Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{n-1}{2^k}+1} \nearrow 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ ist plausibel: Je öfter man die Münze wirft und dabei immer wieder "Kopf" erhält, desto sicherer kann man sich sein, die Kopf-Kopf-Münze erwischt zu haben. Es genügt allerdings ein einziges gegenteiliges Ergebnis "Zahl", um diese bedingte Wahrscheinlichkeit schlagartig auf 0 abstürzen zu lassen. Augenzwinkern

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